Phép đồng dạng là gì? Phương pháp giải các dạng toán phép đồng dạng

Phép đồng dạng là gì? Phương pháp giải các dạng toán phép đồng dạng

Lý thuyết về phép đồng dạng cũng như các dạng toán thường gặp của phép đồng dạng học sinh đã được tìm hiể trong chương trình Toán 11, phân môn Hình học. Đây là phần kiến thức quan trọng có nhiều trong các đề thi. Nhằm giúp quý thầy cô và các bạn học sinh nắm chắc hơn chuyên đề này, đã chia sẻ bài viết sau đây. Các bạn theo dõi nhé !

I. PHÉP ĐỒNG DẠNG LÀ GÌ?

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Bạn đang xem: Phép đồng dạng là gì? Phương pháp giải các dạng toán phép đồng dạng

– Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng với tỉ số k nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có: M’N’ = K.MN.

2. Định lí

– Mọi phép đồng dạng f tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.

3. Tính chất của phép đồng dạng

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia.
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k lần (k là tỉ số đồng dạng).
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k.
• Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R
• Biến góc thành góc bằng nó.

4. Hai hình đồng dạng

– Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

5. Phân biệt phép đồng dạng, phép vị tự và phép biến hình

• Phép đồng dạng biến đoạn thẳng, tam giác và đường tròn lần lượt thành đoạn thẳng có độ dài nhân với k, tam giác mới có tỉ số đồng dạng k và đường tròn có bán kính kr.
• Phép dời hình biến đoạn thẳng, tam giác và đường tròn lần lượt thành đoạn thẳng, tam giác và đường tròn như đã cho trước đó.
• Phép vị tự biến Phép đồng dạng biến đoạn thẳng, tam giác và đường tròn lần lượt thành đoạn thẳng có độ dài nhân với |k|, tam giác mới có tỉ số đồng dạng |k| và đường tròn có bán kính |k| * r.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG

Dạng 1: Tìm phép đổng dạng biến hình H thành hình H’

Phương pháp giải: Tìm cách biểu thị phép đồng dạng đó như là kết quả của việc thực hiện liên tiếp các phép biến hình quen biết

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2

Giải

– Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ

IJ là đường trung trực của AB và EF

Suy ra: DIJ(A)=B; DIJ(E)=FDIJ(A)=B;DIJ(E)=F

O∈IJ⇒DIJ(O)=O⇒DIJ(△AEO)=(△BFOO∈IJ⇒DIJ(O)=O⇒DIJ(△AEO)=△BFO

△BFO qua phép vị tự tâm B tỉ số 2

Ta có: BC^{$\stackrel{}{}$}=2BF^{$\stackrel{}{}$};BD^{$\stackrel{}{}$}=2BO^{$\stackrel{}{}$}

Suy ra: C=V_(B;2)d=V_(b;2)(O)⇒△BCD=V_(B;2)(△BFO)

Vậy ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng theo đề bài là tam giác BCD

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua một phép đồng dạng

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số K=1/2 Và phép quay tâm O góc -45 độ

Lời giải

Gọi là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số k=1/2. Vì d1 song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x + y + c = 0

Lấy M(1;1)∈d

M'(x’;y’)=V_(I;1/2)(M)⇒IM’=1/2IM

Vậy phương trình của d1:x+y=0 

Ảnh của d1 qua phép quay tâm O góc -45 độ là đường thẳng Oy.

Vậy phương trình d’:x=0

Dạng 3: Dùng phép đồng dạng để giải toán

Phương pháp giải: Dùng các tính chất của phép đồng dạng

Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.

Lời giải:

Ta thấy góc lượng giác (CA;CB)=-45⁰ VÀ CA/CB = √2

Do đó có thể xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc -45⁰ và phép vị tự tâm C, tỉ số √2

Vì A∈a nên B∈aa”, B lại thuộc a

Do đó B là giao của a” với b

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

a. Tìm tập hợp các điểm c khi D thay đổi

b. Tìm tập hợp các điểm I khi c và D thay đổi như trong câu a

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, CI, FC. Phép đồng dạng hợp thành bởi phép vị tự tâm C tỉ số k = 2 và phép đối xứng tâm I biến tứ giác IGHF thành:

A. AIFD      

B. BCFI      

C. CIEB      

D. DIEA

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O (0; 0) tỉ số k = 3 và phép đối xứng trục Ox, biến đường thẳng d: x – y – 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. x – y + 3 = 0

B. x + y – 3 = 0

C. x + y + 3 = 0

D. x – y + 2 = 0

Bài 5:  Cho điểm I (2; 1) điểm M (-1; 0) phép đồng dạng hợp thành bởi phép vị tự tâm I tỉ số k = -2 và phép đối xứng trục Ox biến M thành M’’ có tọa độ bao nhiêu ?

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (-2; -3) và B (4; 1). Phép đồng dạng tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’. Tính độ dài A’B’

Bài 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng

B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

C. Phép vị tự có tính chất bảo toàn khoảng cách

D. Phép vị tự không là phép dời hình

Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Phép dời hình nào sau đây biến tam giác AMO thành tam giác CPO?

a. Phép đối xứng trục MP

b. Phép quay tâm A góc quay 180 độ

c. Phép quay tâm O góc quay -180 độ

Bài 9: Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau đây là một phép đồng dạng tỉ số k = 3

A. Phép tịnh tiến và phép đồng nhất

B. Phép tịnh tiến và phép quay

C. Phép dời hình và phép vị tự tỉ số k=1/3

D. Phép tịnh tiến và phép vị tự tỉ số k = -3

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu chuyên đề về phép đồng dạng và phương pháp giải các dạng toán thường gặp cùng nhiều bài tập vận dngj đa dạng. Hi vọng, chúng tôi đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu hay giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề phép quay nữa bạn nhé !