Phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu là phần kiến thức trọng tâm của môn Toán 12. Phần kiến thức này có trong nhiều đề thi quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô và các bạn học sinh nắm vững hơn chuyên đề này và có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình dạy và học, đã chia sẻ bài viết sau đây. Ở đây, ngoài phần lý thuyết, chúng tôi còn giới thiệu thêm các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ MẶT CẦU, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Mặt cầu là gì?

Bạn đang xem: Phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.

2. Các dạng phương trình mặt cầu

1.1 Phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

2.2 Phương trình tổng quát

Nếu a² + b² + c² – d > 0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (S):

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)

Tọa độ tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:

R = √a² + b² + c² – d

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): (x−a)² + (b−y)² + (c−z)² = R² có tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng Δ:

• d > R: Đường thẳng Δ không cắt mặt cầu (S)
• d = R: Đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S)
• d < R: Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB = √R² – d²

4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): (x−a)² + (b−y)² + (c−z)² = R² có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0.

Ta có:

• d(I,(P)) > R : Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).
• d(I,(P)) = R : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
• d(I,(P)) < R : Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính r=√R²−d²(I,(P))

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG GẶP

Bài tập viết phương trình mặt cầu thường có có dạng thường gặp sau đây. Mỗi dạng chúng tôi đều chia sẻ phương pháp giải và nhiều ví dụ minh họa cho bạn dễ hiểu.

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Tìm điều kiện để phương trình dạng khai triển là phương trình của một đường tròn

1. Phương pháp giải:

● Xét phương trình (S): (x- a)² + ( y- b)² + ( z- c)² = R².

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b;c), bán kính R

● Xét phương trình (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a² + b² + c² – d > 0

Khi đó mặt cầu có 

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Mặt cầu (S): 3x² + 3y² + 3z² – 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có (S): 3x² + 3y² + 3z² – 6x +12y +2 = 0

⇔ x² + y² + z² – 2x + 4y + 2/3 = 0

Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán kính 

Ví dụ 2: Cho phương trình (S): x² + y² + z² + 2( 3 – m)x – 2( m+ 1)y – 2mz + 2m² + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để ( S) là một phương trình mặt cầu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a= m – 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m² + 7

Điều kiện để ( S) là mặt cầu là a² + b² + c² – d > 0

⇔ ( m- 3)² + ( m+1)² + m² – 2m² – 7 > 0 hay m² – 4m + 3 > 0

Chọn C.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Mặt cầu (S) tâm I( -1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+ 2y + 2z + 6 = 0có phương trình:

A. (x- 1)² +( y+2)² + (z- 3)² = 2    B. (x+ 1)² + ( y – 2)² + (z + 3)² = 4

C. (x+ 1)² + (y -2)² + (z + 3)² =1    D. (x+1)² + ( y – 2)² +(z + 3)² = 25

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d( I; (P)) = R = 1

Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 1

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường thẳng  . Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A. 3√3    B. √6    C.3.    D.2√3

Hướng dẫn giải:

Tâm I ∈d => I(1+t;1+2t;-2+t) .

=> AI^→(3+t;-3+2t;-3+t); BI^→(-1+t;1+2t;-5+t)

Vì (S) đi qua A và B nên ta có IA = IB => IA² = IB²

⇔ (3+ t)² + (-3+ 2t)² + ( -3+ t)² = ( -1+ t)² + (1+ 2t)² + (- 5+ t)²

⇔ 9+ 6t + t² + 9 – 12t + 4t² + 9 – 6t + t² = 1- 2t+ t² + 1+ 4t + 4t² + 25 – 10t + t²

⇔ 6t² – 12t + 27 = 6t² – 8t + 27

⇔ -4t = 0 nên t = 0

=> AI^→(3 ; -3 ; -3) nên AI = 3√3

Vậy bán kính mặt cầu (S) là R = AI = 3√3

Chọn A.

Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng, mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện T

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A. (x- 8)2 + ( y- 8)2 + (z+ 1)2 = 196 B. (x + 82 +(y+ 8)2 + (z – 1)2 = 196

C. (x + 16)2 + ( y+4)2 + (z- 7)2 = 196 D.(x- 16)2+ ( y- 4)2 +(z+ 7)2 = 196

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra, một VTCP của d là:

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H= d ∩ (P) .

Vì H ∈ d nên H( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t.

Mặt khác, H ∈ (P) nên ta có:

6(2+ 6t) + 3(5+ 3t) – 2( 1- 2t) + 24 = 0

⇔ t= – 1

Do đó, H( -4; 2; 3).

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14 .

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH⊥ (P) => I ∈ d .

Do đó tọa độ điểm I có dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1 .

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Dạng 4: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.

1. Cách giải:

Cách 1:

• Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ( *) (với a² + b² + c² – d > 0 )
• Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình (*), ta được hệ 4 phương trình.
• Bước 3: Giải hệ trên tìm được a, b, c, d( chú ý đối chiếu điều kiện a² + b² + c² – d > 0 ). Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập.

Cách 2:

Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Suy ra: 

Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.

Bước 3: Tìm bán kính R = IA. Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

2. Ví dụ minh họa: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4; 2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

A. (-1;-1; 0) B. (3; 1; 1) C. (1; 1; 1) D. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d= 0 (a² + b² + c² – d > 0) .

Do M(2;2;2) ∈ (S) 2² + 2² + 2² – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 4a – 4b – 4c + d= -12 (1)

Do N( 4; 0; 2) ∈ (S) nên 4² + 0² + 2² – 2.4a- 2.0b – 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4c + d= – 20 (2)

Do P(4; 2; 0) ∈ (S) nên 4² + 2² + 0² – 2.4a – 2.2b – 2.0.c + d = 0 hay – 8a – 4b + d = -20 (3)

Do Q(4; 2; 2) ∈ (S) nên 4² + 2² + 2² – 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Suy ra, mặt cầu (S) thỏa mãn có tâm I(1; 2; 1). Chọn đáp án A

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước

1. Phương pháp giải:

• Tìm trung điểm của AB. Vì AB là đường kính nên I là tâm trung điểm AB đồng thời là tâm của mặt cầu.
• Tính độ dài IA = R.
• Làm tiếp như bài toán dạng 1.

2. Ví dụ minh họa: Cho hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 2;3 ; -2). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. (x + 2)2 + ( y -1)2 + ( z+ 1)2 = 8; B. x2 +( y +2)2 + ( z- 1)2 = 10

C. x2 + ( y – 2)2 + ( z+ 1)2 = 6; D. (x – 2)2 + (y +1)2 + (z -1)2 = 8

Lơi giải:

Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ điểm M là :

Mặt cầu cần tìm nhận M(0; 2; -1) làm tâm và có bán kính là R= MA = √6.

Ta có phương trình mặt cầu là : (x – 0)² + ( y – 2)² + ( z+ 1)² = 6 Hay x² + ( y -2)² + (z +1)² = 6

Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu biết tâm I, một đường thẳng ( mặt phẳng) cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt đường thẳng d theo dây cung AB

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

• Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R= IA.

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C)

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0; (Q): 2x – y+ z +7 = 0 và đường thẳng  . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π .

A.( x-1)² + y₂ +( z+1)² = 110/3 .    B. (x- 1)² + y₂ + (z -1)² = 110/3

C.(x- 1)² + y₂ +( z- 1)² = 110/3 .    D. (x- 1)² + y₂ + (z – 1)² = 110.

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆: 

Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1+7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 =0

⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0

Khi đó, tọa độ điểm I(1 ; 0 ; 1).

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Q) là :

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

20π = πr² ⇔ r = 2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: 

Vậy phương trình mặt cầu ( S) cần tìm là: (x- 1)² + y²+ (z-1)² = 110/3

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; 0); B(1; 1; -1) và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là

A. x- 2y + 3z – 2 = 0.    B. x – 2y – 3z – 2= 0.

C. x+ 2y – 3z – 6 = 0    D. 2x- y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P) phải qua tâm I(1; -2; 1)của (S).

Ta có AI→(1; -1; 1); BI→(0; -3; 2)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

n→ = [AI→; BI→] = (1; -2; -3).

Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; -1;0) và nhận vecto n→(1; -2; -3) làm VTPT nên có phương trình:

1( x- 0) – 2( y+1) – 3( z- 0) = 0 hay x- 2y – 3z – 2= 0

Chọn B.

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Hi vọng, đây la nguồn tư liệu bổ ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Bảng công thức lượng giác cũng đã được chúng tôi chia sẻ, bạn tìm hiểu thêm nhé !