Hướng dẫn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng các dạng toán

Hướng dẫn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng các dạng toán

Chuyên đề hàm số lượng giác học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Đại số và Giải tích 11. Đây là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình. Nhằm giúp học sinh nắm vững hơn các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng một số dạng bài tập thường gặp, đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tham khỏa nhé !

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LÀ GÌ ? 

Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.

Bạn đang xem: Hướng dẫn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng các dạng toán

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì.

II. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồ thị hàm số y = sinx có dạng:

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 khi

 ° cosx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

+ Tập xác định: 

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 khi

 ° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

+ Tập xác định: 

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cotx = 0 khi

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:

III. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hàm số y= 1+ 2cos²x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x₀=π+k2π, kϵZ .

B.x₀=π/2+kπ, kϵZ .

C.x₀=k2π, kϵZ .

D.x₀=kπ ,kϵZ .

Lời giải:.

Chọn B.

Ta có – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 0 ≤ cos²x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos²x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Lời giải:.

Chọn C.

Ta có: y = sin² x+ 2cos²x = (sin²x+ cos²x) + cos²x = 1+ cos² x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos² x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos² x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.

A. M=3 ; m= – 1.

B. M= 1 ; m= -1.

C. M=2 ;m= -2.

D. M=0 ; m= -2.

Lời giải:.

Chọn B.

Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6)        c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1.        d) cotx = tan2x.

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡x = sin⁡π/6

b)

c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x=tan⁡2x

Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos² x – sin2x =0.

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos²x-sin²x=0 ⇔cos²x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x (cos⁡x – 2 sin⁡x )=0

b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

Bài 6: Giải các phương trình lượng giác sau:

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡(2x+1)=cos⁡(3x+2)

b)

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

Bài 7:.Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

Lời giải: 

– Hàm số:

+ TXĐ:

⇒ 

+ Ta có: 

+ Ta có: 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a:

+ Hàm 

Bài 8: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn <0;2π>.

Lời giải: 

+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn<0;2π> , ta có:

 – Hàm số đồng biến khi 

 – Hàm số nghịch biến khi 

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu về các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng nhiều bài tập vận dụng. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu không thể thiếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 cũng đã đươc giới thiêu rất cụ thể. Bạn đừng bỏ lỡ nhé !

Giáo dục