Tìm hiểu các phương pháp xác định nguyên hàm hay nhất

Tìm hiểu các phương pháp xác định nguyên hàm hay nhất

Bài viết hôm nay, sẽ giới thiệu cùng quý thầy cô và các bạn học sinh các phương pháp xác định nguyên hàm hay nhất cùng nhiều dạng bài tập thường gặp. Hãy dành thời gian chia sẻ tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quý trình dạy và học nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ NGUYÊN HÀM

1. Định nghĩa nguyên hàm

Bạn đang xem: Tìm hiểu các phương pháp xác định nguyên hàm hay nhất

Định nghĩa:

• Cho hàm số f(x) xác định trên K.

• Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈K.

• Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

2. Định lý nguyên hàm

Định lý:

• Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

• Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+CF(x)+C với C là một hằng số tùy ý.

• Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Lưu ý: 

• Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

• Khi đó : ∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R.

3. Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

4. Bảng công thức tính nguyên hàm cơ bản

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM HAY NHẤT

1. Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa

2. Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng các nguyên hàm cơ bản

3. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp phân tích

4. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

5. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

6. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

7. Nguyên hàm các hàm số hữu tỉ

8. Nguyên hàm các hàm số lượng giác

9. Nguyên hàm các hàm số vô tỉ

10. Nguyên hàm các hàm số siêu việt

III. BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫e^x sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫e^x sinx dx

F(x) = e^x sinx-∫e^x cosx dx = e^x sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫e^x cosx dx

G(x) = e^x cosx+∫e^x sinx dx+C’=e^x cosx+F(x)+C’ (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = e^x sinx-e^x cosx – F(x) – C’

Ghi nhớ: Gặp ∫e^mx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫e^mx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2^x dx

b)

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x – ∫2x.e^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x – ∫2x.e^x dx = (x²-1) e^x-(2x.e^x – ∫2.e^x dx)

= (x²-1) e^x – 2x.e^x + 2.e^x+C = (x-1)² e^x + C.

Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn:

Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn:

Bài 5: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Bài 6: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Bài 7: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Trên đây, chúng tôi đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn các phương pháp xác định nguyên hàm và các dạng toán thường gặp. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn đã nắm chắc hơn mảng kiến thức Toán 12 vô cùng quan trọng này. Xem thêm bảng công thức tính nguyên hàm cơ bản đến nâng cao nữa bạn nhé !

Giáo dục