Cách giải nhanh phương trình bậc 4

Nội dung chính

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
x4+ax3+bx2+cx+d=0 trong đó a,b,c,d là các số thực khác không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.

CÁC PHƯƠNG PHÁP:

1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.

Ví dụ 1.
Giải phương trình (x2−a)2−6×2+4x+2a=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) được viết thành

Bạn đang xem: Cách giải nhanh phương trình bậc 4

x4−2ax2+a2−6×2+4x+2a=0

hay x4−(2a+6)x2+4x+a2+2a=0

‘>x4−(2a+6)x2+4x+a2+2a=0

(2)

Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng

a2−2(x2−1)a+x4−6×2+4x=0 (3)

Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:

Ví dụ 2.
Giải phương trình x4−x3−5×2+4x+4=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:

−x3−x2−(4×2−4x−4)=0

x2(x2−x−1)−4(x2−x−1)=0

(x2−4)(x2−x−1)=0

Vậy (1) có 4 nghiệm là

Ví dụ 3.
Giải phương trình
32×4−48×3−10×2+21x+5=0 (1)

Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:

2(16×4−24×3+9×2)−7(4×2−3x)+5=0

Và đặt: y=4×2−3x thì (1) được biến đổi thành

2y2−7y+5=0

Từ đó y1=1 và y2=5/2

Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay y1=1 và y2=5/2 vào y=4×2−3x ):

4×2−3x−1=0

Và 8×2−6x−5=0

Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).

Ví dụ 4.
Giải phương trình

2×4+3×3−16×2+3x+2=0 (1)

Giải:

Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi e/a=(d/b)²)

Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho x2 (khác không) thì (1) tương đuơng với

Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và phương trình quen thuộc.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 5.
Giải phương trình:

x4+4×3−10×2+37x−14=0 (1)

Giải:

Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2+px+q và x2+rx+s , trong đó

p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định.

Ta có:

x4+4×3−10×2+37x−14=(x2+px+q)(x2+rx+s) (2)

Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau

Lưu ý:

Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên.