Cách tìm ước chung lớn nhất của hai số Nhanh & Chính Xác

Cách tìm ước chung lớn nhất của hai số Nhanh & Chính Xác

Bài viết hôm nay, các bạn sẽ được tìm hiểu về chuyên đề Ước chung lớn nhất (ƯCLN) cũng như cách tìm ước chung lớn nhất nhanh chóng và chính xác nhất. Phần kiến thức Đại số này học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 6. Nếu muốn củng cố thêm kiến thức, các bạn hãy chia sẻ bài viết sau đây của nhé !

I. Ước chung lớn nhất là gì ?

1. Khái niệm:

Bạn đang xem: Cách tìm ước chung lớn nhất của hai số Nhanh & Chính Xác

Trong toán học, ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó.

Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của các số đó. Nếu trong các số đó có ít nhất một số bằng 0 và ít nhất một số khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của các số khác 0.

2. Kí hiệu:

Ước chung lớn nhất của a₀, a₁, a₂,… a_n được ký hiệu là ƯCLN(a₀, a₁, a₂,… a_n) hoặc (a₀, a₁, a₂,… a_n).

3. Ví dụ:

Ước chung lớn nhất của 25 và 45 là 5 vì 25:5=5 và 45:5=9

4. Tính chất:

• Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.
• Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.
• Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a0, m·a1, m·a2,…m·an) = m·ƯCLN(a0, a1, a2,… an).
• Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m·b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) =
• ƯCLN(a, b)/m.
• ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu các số a1, a2,…,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2·…an, b) =
• ƯCLN(a1, b)·ƯCLN (a2, b)·…ƯCLN (an, b).
• ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).
• ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
• ƯCLN (a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có: ƯCLN(a, b)·BCNN(a, b) = a·b.

II. Cách tìm ước chung lớn nhất( ƯCLN)

Phương pháp:

Để tìm UCLN các bạn thực hiện theo các bước sau

• • Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• • Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

• • Bước 3: Nhân số nguyên tố chung với tích mũ chung nhỏ nhất trong 2 số  sẽ được UCLN cần tìm.

Lưu ý:

• a) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
• b) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước cảu số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Ví dụ 1:  Tìm ước chung lớn nhất của (12, 30)

Ta có: 12 = 2×2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Ta có các thừa sừa số nguyên tố chung là 2 và 3

=> Ước chung lớn nhất (UCLN) (12, 30) = 2 x 3 = 6

Ví dụ 2: Tìm UCLN (8, 9); UCLN (8, 12, 15); UCLN (24, 16, 8)

UCLN (8, 9) = 1

UCLN (8, 12, 15) = 1

UCLN (24, 16, 8) = 8

*** Cách tìm ước chung

• Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
• Như vậy, tập hợp các ước chung của các số đã cho là tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.

III. Các dạng toán về ước chung lớn nhất

Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Dạng này cách làm khá đơn giản. Học sinh chỉ cần áp dụng 3 bước của cách tìm ước chung lớn nhất là có thể giải một cách dễ dàng.

Ví dụ: Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của :

a) 16 và 24 ;                    b) 180 và 234 ;                    c) 60, 90 và 135.

Giải

16 = 2⁴ ; 24 = 2³.3 ;

ƯCLN(16,24) = 2³ = 8.

Các ước chung của 16 và 24 chính là các ước của 8. Đó là 1 ; 2 ; 4 và 8.

Đáp số :

ƯCLN(180 , 234) = 18. Các ước chung là 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18.

ƯCLN(60 , 90 , 135) = 15. Các ước chung là : 1 , 3 , 5 , 15.

Dạng 2: Bài toán đưa về việc tìm ước chung lớn nhất của hai số

Ở dạng này, học sinh cần phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ:

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 chia hết cho  a và 700 chia hết cho  a.

Giải

Theo đề bài a phải là ƯCLN của 420 và 700.

ƯCLN(420, 700) = 140.

Vậy a = 140.

Dạng 3: Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

– Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước ;

– Tìm các ước của ƯCLN này ;

– Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ:

Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua 28 bút, Lan mua 36

bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2.

a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2.

b) Tìm số a nói trên.

c) Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu ? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu ?

Trả lời

a) a là ước của 28, a là ước của 36, a > 2.

b) a  ∈ ƯC(28 , 36) và a > 2. Từ đó tìm được a = 4.0

c) Mai mua 7 hộp bút, Lan mua 9 hộp bút.

IV: Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm các ước chung lớn hon 20 của 144 và 192 .

Giải

ƯCLN (144 ,192) = 48.

Ư(48) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}.

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hon 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

Bài 2:. 

Tìm số tự nhiên x, biết rằng 112 chia hết cho x , 140 chia hết cho x  và 10 < x < 20.

Hướng dẫn

x  ∈  ƯC(12 ,140) và 10 < x < 20. ƯCLN(112 , 140) = 28.

Đáp số: x = 14.

Bài 3:

Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành

các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh

nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự

nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét).

Giải

Để tấm bìa được cắt hết thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh

của hình vuông phải là ước chung của 75 và 105. Do đó độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông

(tính bằng cm) là ƯCLN (75,105), tức là 15 cm.

Bài 4: Một người chủ có một chuồng thỏ. Người chủ muốn cho những con thỏ trong chuồng ăn, mà ông chỉ có 6 cây súp lơ và 8 củ cà rốt. Ông muốn mỗi con thỏ đều được ăn cả súp lơ và cà rốt. Và số lượng súp lơ và cà rốt ăn được phải bằng nhau. Thức ăn cũng không được để thừa. Vậy số thỏ là bao nhiêu để có thể ăn đều như mong muốn của ông chủ.

Ta áp dụng kiến thức về ước chung lớn nhất để giải bài tập.

Số thỏ tối đa không được lớn hơn 6 để đảm bảo số thỏ không ăn thừa hay thiếu số súp lơ.

Trong bài toán này ta sẽ tìm ước chung lớn nhất của 6 và 8, bởi chúng ta muốn tìm ra số thỏ mà trong đó có thể chia đều 6 cây súp lơ và 8 củ cà rốt cho chúng.

Ta có: 6 = 2 x 3

8 = 2 x 4

Vậy ước chung lớn nhất của hai số là 2. Số thỏ trong chuồng sẽ là 2 con. Mỗi con ăn được 3 cây súp lơ và 4 củ cà rốt.

Bài 5:

Tìm ƯCLN của :

a) 56 và 140 ;                         b)24, 84, 180   ;

c) 60 và 180 ;                         d) 15 và 19.

Giải

a) 56 = 2³.7 ; 140 = 2² .5.7.

ƯCLN(56,140) = 2².7 = 28 .

Đáp số : b) 12 ; c) 60 ; d) 1.

Bài 6:

Tìm ƯCLN của :

a) 16, 80, 176;                           b) 18, 30, 77.

Đáp số

a) 16 ;                         b) 1

Bài 7:

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 chia hết cho  a và 700 chia hết cho  a.

Giải

Theo đề bài a phải là ƯCLN của 420 và 700.

ƯCLN(420, 700) = 140.

Vậy a = 140.

Bài 8:

Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ

đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam

được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy.

Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ ?

Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?

Đáp số

Số tổ nhiều nhất là ƯCLN (48,72) = 24. Khi đó mỗi tổ có 2 năm, 3 nữ.

Bài 9: Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z⁺; (m, n) = 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.

Do đó: a + b = d(m + n) = 42 (1)

[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1; 2; 3; 6}.

Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4. (thỏa mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

Bài 10: Tìm a, b biết a – b = 7, [a, b] = 140.

Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z⁺; (m, n) = 1.

Do đó: a – b = d(m – n) = 7 (1’)

[a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1; 7}.

Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất:

d = 7 => m – n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4

Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu trọn vẹn và chi tiết Cách tìm ước chung lớn nhất của hai số Nhanh & Chính Xác. Bài viết có cả thêm phần ví dụ minh họa để học sinh dễ dàng nắm bắt. Hi vọng, các bạn đã nắm vững hơn phần kiến thức Đại số 6 quan trọng này. Chuyên đề ước và bội cũng đã được chúng tôi chia sẻ chi tiết. Bạn tìm hiểu thêm nhé !

Giáo dục