Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất
Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 11. Nhằm giúp các bạn nắm vững hơn chuyên đề toán quan trọng này, đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn dành thời gian tìm hiểu để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình học tập nhé !
I. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG
1. Phương pháp giải
Bạn đang xem: Cách xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng nhanh nhất
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) =
Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?
A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°
Hướng dẫn giải
Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:
(do ABCD là hình vuông)
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:
A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương
Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C = CA = a√2) do đó ∠B’CA= 60° .
Lại có, DA’ song song CB’ nên
(AC, DA’) = (AC, CB’) = ∠ACB’= 60°.
Chọn C
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA’C’ nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :
(AC, A’D) = (A’C’, A’D) = ∠DA’C’
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°
B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°
C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°
D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có (AA’, B’D’) = (BB’, B’D’) = ∠BB’C = 90°.
Khẳng định B sai. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD
Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD
Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra (IE; JF) = 90°.
Chọn D
III. BÀI TẬP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ, GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẰNG
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°
Lời giải:
+ Gọi M là trung điểm của CD
+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.
Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.
Chọn C
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Lời giải:
Chọn C
Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.
Ta có:
Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .
Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120° B. 90° C. 60° D.45°
Lời giải:
Chọn B
+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều
Tương tự tam giác ABD đều.
⇒ BC = BD (= AB)
+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :
BC = AC.
AD = BD
CD chung
⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ
⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB.
⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .
Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.
Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .
Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC
Chọn D.
Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng
Lời giải:
Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)
Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)
Ta có:
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a
Xét tam giác MED, ta có:
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Lời giải:
Chọn D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1)
Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).
⇒ (MN; SC) = (SA; SC).
Xét tam giác SAC, ta có:
⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC
⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°
Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng
Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)
Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)
Ta có:
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a
Xét tam giác MED, ta có:
Đăng bởi: Thcs-thptlongphu.edu.vn
Chuyên mục: Tổng hợp
