Công thức Bernoulli

Tóm tắt lý thuyết

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp đi lặp lại nhiều lần. Trong mỗi phép thử có thể xảy ra hay không xảy ra một biến cố A nào đó và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu tiến hành sản xuất hàng loạt một loại chi tiết nào đó ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Bài toán này có thể giải quyết khá dễ dàng nếu các phép thử độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không. Chẳng hạn: tung nhiều lần một đồng xu hoặc lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n sản phẩm từ một lô hàng sẽ tạo nên các phép thử độc lập.

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất A không xảy ra bằng 1 – p = q. Khi dó xác suất để trong n phép thử độc lập nói trên biến cố A xảy ra đúng k lần ký hiệu là Pk(A) được tính theo công thức Bemoulli sau đây:

Bạn đang xem: Công thức Bernoulli

(k = 0, 1,2,…, n)

Chứng minh: Gọi Ai là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,…, n). Suy ra

 sẽ là biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra”. Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”. B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k phép thử đầu, A xảy ra, còn n-k phép thử sau A không xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn n-k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích có dạng:

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng

và biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.

Giả thuyết Bernoulli là gì? Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê

Giả thuyết Bernoulli là gì?

Giả thuyết Béc-nu-li (Bernoulli hypothesis) Daniel Bernoulli là nhà toán học của thế kỷ 19, đã đưa ra lời giải cho một nghịch lý nổi tiếng với cái tên “nghịch lý Xanh Pê-téc-bua”.

Vấn đề là phải lý giải tại sao con người không trả các khoản tiền cực lớn để chơi trò chơi sau đây: Một đồng tiền được tung lên, chẳng hạn cho đến khi mặt ngửa xuất hiện. nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ hai, người chơi nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ là 4 đồng). Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ 3, người chơi nhận được 2³ đơn vị tiền thưởng, đến lần thứ tư người chơi nhận được 2∧4 đơn vị tiền thưởng, và vân vân. Tổng của xác suất nhận được tiền thưởng phải bằng 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng cũng là một đại lượng vô hạn. Như vậy, người ta có thể nhận định rằng người chơi sẽ đánh những khoản tiền rất lớn trong một trò chơi như thế.

Giải thích tại sao mọi người chấp nhận chơi trò chơi này, Bernoulli lập luận rằng người chơi bạc quan tâm đến ích lợi của phần thưởng hơn là bản thân tiền thưởng. Bằng cách nêu ra giải thuyết về lợi ích cận biên giảm dần của thu nhập, Bernoulli chỉ ra rằng một trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng bằng tiền vô hạn, nhưng có giá trị kỳ vọng tính bằng lợi ích hữu hạn. Bởi vậy mọi người quan tâm tới giả thuyết này trước hết vì nó là nỗ lực đầu tiên trong việc thay thế mục tiêu tính bằng tiền bằng sự tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện có rủi ro hay tính bất định.

Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê

Trước đó, vào thế kỳ 17, một nhà toán học nổi tiếng cũng thuộc nhà Bernoulli, Jacob Bernoulli đã phát minh ra phép thử Bernoulli. Dãy các phép thử Bernoulli được định nghĩa là đối với thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó chúng ta thực hiện n lần
thử lặp lại. Chúng ta gọi dãy các phép thử này là dãy các phép thử Bernoulli nếu thoả mãn các điều kiện sau:

Đây là dãy các phép thử độc lập, nghĩa là kết quả của mỗi phép thử không
phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác.

Biến cố A xảy ra với xác suất p như nhau ở phép thử thứ i bất kỳ.

Nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i, ta nói phép thử thứ i thành công

Công thức của phép thử Bernoulli được viết như sau:

Công thức trên được dùng để tính Xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong dãy n phép thử Bernoulli.

Giáo dục