Công thức Heron là gì? Cách áp dụng công thức Heron tính diện tích tam giác

Công thức Heron mang tên của một nhà toán học Heron được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên. Đây là công thức tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh cực hay. Bài viết hôm nay, sẽ tổng hợp lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cho bạn làm tư liệu dạy và học tốt hơn nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ CÔNG THỨC HERON

1. Công thức Heron được viết như sau:

Bạn đang xem: Công thức Heron là gì? Cách áp dụng công thức Heron tính diện tích tam giác

Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b và c

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Với p là nửa chu vi của tam giác.

$p=frac{a+b+c}{2}$

2. Công thức Heron còn có thể được viết lại bằng:

$begin{aligned} S=& frac{sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} S &=frac{sqrt{2left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}right)-left(a^{4}+b^{4}+c^{4}right)}}{4} & S=frac{sqrt{left(a^{2}+b^{2}+c^{2}right)^{2}-2left(a^{4}+b^{4}+c^{4}right)}}{4} end{aligned}$

3. Cách chứng minh công thức Heron

Cách chứng minh này sử dụng đại số và lượng giác

Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

$cos (C)=frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

Từ đó:

$sin (C)=sqrt{1-cos ^{2}(C)}=frac{sqrt{4 a^{2} b^{2}-left(a^{2}+b^{2}-c^{2}right)^{2}}}{2 a b}$

Dựa vào đường cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

$begin{aligned} S &=frac{1}{2} a b sin (C) &=frac{1}{4} sqrt{4 a^{2} b^{2}-left(a^{2}+b^{2}-c^{2}right)^{2}} &=frac{1}{4} sqrt{left(2 a b-left(a^{2}+b^{2}-c^{2}right)right)left(2 a b+left(a^{2}+b^{2}-c^{2}right)right)} &=frac{1}{4} sqrt{left(c^{2}-(a-b)^{2}right)left((a+b)^{2}-c^{2}right)} end{aligned}$

$begin{array}{l} =frac{1}{4} sqrt{(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)} =sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} end{array}$

Vậy nếu các bạn muốn tính diện tích tam giác với ba cạnh a, b, c thì các bạn cần tính nửa chu vi của tam giác với công thức:

$p=frac{a+b+c}{2}$

Sau đó áp dụng công thức tính diện tích Heron để tính diện tích tam giác:

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

II. CÁCH ÁP DỤNG CÔNG THỨC HERON TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Như vậy, nhờ áp dụng công thức Heron đã được chứng minh ở trên chúng ta dễ dàng tính được diện tích tam giác khi biết 3 cạnh. Tuy nhiên, cách tính này cần làm nhiều bước, và mỗi bước cần được tính toán và ghi rõ ràng. Để có được đáp án đúng nhất khi áp dụng cách tính này các em học sinh nhớ thực hiện theo hướng dẫn sau của chúng tôi nhé.

1. Tính nửa chu vi tam giác

Bước đầu tiên để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh theo công thức Heron là tính nửa chu vi tam giác. Vì đây là thông số quan trọng nhất trong bài toán dạng này. Các em học sinh hãy nhớ, ở đây p là nửa chu vi, không phải toàn chu vi nhé.

Theo đó, chúng ta đã biết công thức tính chu vi tam giác là bằng tổng của độ dài 3 cạnh. Như vậy để tính nửa chu vi chúng ta lấy chu vi đã tính được đem chia 2.

Ví dụ đề toán cho biết độ dài ba cạnh lần lượt là 5 cm, 4 cm, và 3 cm, nửa chu vi sẽ là: p = (5 + 4 + 3) / 2 = 6 cm.

2. Thay các thông số vào công thức Heron tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

Sau khi đã tính được nửa chu vi p, các em học sinh thay thông số này với chiều dài các cạnh cho sẵn vào công thức Heron.

Cụ thể, ta có công thức Heron là S = √p x (p – a) x (p – b) x ( p – c)
Lúc này ta sẽ thay lần lượt p = 6, a = 5, b = 4, c = 5.
Vậy công thức tính diện tích hoàn chỉnh lúc này sẽ là: S = √6 x (6 – 5) x (6 – 4) x ( 6 – 3)

Lưu ý: Ở bước làm này học sinh hãy làm thật cẩn thận. Hãy luôn nhớ rằng p là nửa chu vi. Do đó, không được thay số toàn chu vi sẽ dẫn đến đáp án sai.

3. Tính các giá trị trong dấu ngoặc đơn

Sau khi có công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh ở trên, các em học sinh hãy tính giá trị trong dấu ngoặc đơn trước. Bước này cần làm trước khi tiến hành căn bậc hai toàn giá trị này.

Cụ thể, các em hãy lấy nửa chu vi trừ đi chiều dài của từng cạnh. Tiếp theo, nhân ba giá trị này với nhau.

Theo đề toán trên ta sẽ có giá trị là: S = √6 x (1 x 2 x 3) = √6 x 6

4. Tính diện tích tam giác hoàn chỉnh

Ở bước cuối cùng, các em học sinh hãy nhân hai giá trị bên dưới dấu căn với nhau. Sau đó, tìm căn bậc hai của chúng. Bạn sẽ tìm được kết quả diện tích tam giác theo đơn vị vuông.

Theo đề toán trên ta sẽ có giá trị là: S = √6 x 6 = √36 = 6 cm vuông.

Lưu ý: Bước cuối cùng này học sinh luôn nhớ nhân hai giá trị bên dưới dấu căn với nhau trước. Sau đó mới tiến hành căn bậc hai kết quả nhân này. Ngoài ra đáp án cần ghi là đơn vị vuông.

diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

5. Cách tính diện tích tam giác đều cạnh 2a

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh và 3 góc bằng nhau. Vì vậy khi biết một cạnh thì học sinh có thể suy ra chiều dài 2 cạnh còn lại. Như vậy, khi biết 3 cạnh của một tam giác học sinh hoàn toàn có thể áp dụng công tính tính diện tích Heron. Hoặc một cách tính khác mà chúng tôi sẽ giới thiệu chi tiết hơn.

a. Tính diện tích tam giác đều cạnh 2a theo công thức Heron

Vì tam giác đều cho biết 1 cạnh là 2a, thì ta sẽ suy ra được 2 cạnh còn là cũng là thông số 2a này. Như vậy, các bước còn lại các em học sinh thực hiện như hướng dẫn công thức Heron ở trên.

Lưu ý: Với bài toán này, học sinh cần thêm vào bước 1 bài viết là suy ra 2 cạnh còn lại bằng độ dài 2a. Do đây là tam giác đều nhé.

b. Tính diện tích tam giác đều 2a theo công thức có sẵn

Với bài toán tính diện tích hình tam giác đều mà mà chỉ cho biết một cạnh thôi thì các em học sinh áp dụng công thức như sau.

Áp dụng công thức tính diện tích S = (a²) x √3/4. Trong đó a là chiều dài cạnh của tam giác đều được bình thương lên và nhân với √3/4 tương đương 1,732.
Ví dụ tính diện tích tam giác đều khi biết chiều dài cạnh 2a là 6 cm. Ta áp dụng công thức trên sẽ có S = 6²x √3/4 = 15,59 cm²

Lưu ý: Vì bài toán này có dùng căn bậc hai nên học sinh cần dùng máy tính để tính chính xác kết quả. Hoặc trong trường hợp tính nhẩm có thể quy √3/4 tương đương 1,732. Ngoài ra, kết quả luôn ghi đơn vị vuông và làm tròn đến số thập phân thứ 2 nhé.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, AC = 3. Tính diện tích tam giác ABC?

Bài giải

Gọi S là diện tích tam giác ABC.

p là nửa chu vi tam giác ABC.

Ta có:

p= (3+4+3)/2 = 5.

Áp dụng công thức Heron ta có:

S= √5(5-3)(5-4)(5-3) =√20 đvdt.

Vậy diện tích tam giác ABC là S= √20 đvdt.

Bài 2: Cho tam giác ABC có tọa độ 3 đỉnh A(1;-1), B(4;-3), C(0;0). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải

Ta có:

AB =√(4-1)²+(-3+1)² = √13

BC= 5

AC =√2

Nửa chu vi p= (√13 + 5 + √2)/2 = 5,1

Ta có :

S= √ 5,1(5,1-√13)(5,1-5)(5,1-√2)= 1,68 đvdt.

Vậy diện tích tam giác ABC là S= 1,68 đvdt.

Bài viết trên đây, chúng tôi đã chia sẻ đến quý bạn đọc chuyên đề về công thức Heron và cách áp dụng công thức Heron tính diện tích tam giác cực hay. Hi vọng, chúng tôi đã cung cấp thêm cho bạn thêm nguồn tư liệu quý giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề về phép đồng dạng nữa bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc thcs-thptlongphu. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: https://thcs-thptlongphu.edu.vn

https://thcs-thptlongphu.edu.vn/cong-thuc-heron-la-gi-cach-ap-dung-cong-thuc-heron-tinh-dien-tich-tam-giac/