Công thức phép vị tự. Phương pháp giải các dạng toán của phép vị tự

Lý thuyết về phép vị tự cũng như các dạng toán thường gặp của phép vị tự học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 11, phân môn Hình học. Sau đây sẽ giúp bạn hệ thống lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này và cung cấp thêm cho bạn phương pháp giải các dạng toán thường gặp của phép vị tự. Các bạn tìm hiểu nhé !

A. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP VỊ TỰ

1. Lý thuyết

Bạn đang xem: Công thức phép vị tự. Phương pháp giải các dạng toán của phép vị tự

* Định nghĩa: điểm I cố định và một số thực k không đổi, K ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k và kí hiệu là V_(I,k) (I được gọi là tâm vị tự).

* Nhận xét:

– Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

– Phép vị tự tỉ số k = 1 chính là phép đồng nhất.

– Phép vị tự tâm I tỉ số k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm I.

* Tính chất:

– Biến đường thẳng không qua tâm vị tự đường thẳng song song với nó.

– Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| đoạn thẳng ban đầu.

– Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

– Biến góc thành góc bằng với góc ban đầu.

– Biến tia thành tia.

– Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

2. Công thức

Cho điểm M(x₀; y₀). Phép vị tự tâm I(a; b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ (x’; y’) thỏa mãn:

Đối với phép vị tự tâm O biến M thành M’ thì

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm I(1; 2) cố định và số thực k = 2.

a) Tìm ảnh A’ của điểm A(3; 4) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Lời giải

a) Ta có V_{(1; 2)}(A) = A’(x’;y’)

nên

Vậy tọa độ điểm A’(5;6).

b) Gọi đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2

Ta có: I không nằm trên đường thẳng d (vì 1 – 2.2 + 1 = -2)

Nên d’ song song với d. Khi đó phương trình d’ có dạng: x – 2y + c = 0 (c khác 1)

Lấy điểm M(1;1) ∈ d , ta có V_(I;2) (M) = M’ ∈ d’.

Tọa độ điểm M’(x’;y’):

Vì M’ ∈ d’ nên 1 – 2.0 + c = 0, suy ra c = -1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Tìm ảnh (C’) của (C) qua phép vị tự tâm I(-1; 2), tỉ số k = 3?

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm A(1;2), kính R = 2.

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3 nên (C’) có bán kính R’ = 3.2 = 6 và tâm A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3.

Ta có A’(x’; y’) = V_(I;3)(A)

Tọa độ điểm A’: