Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập

Tích có hướng của hai vectơ là gì? Chúng có những tích chất gì? Công thức tính tích có hướng của hai vectơ ra sao cùng nhiều dạng bài tập thường gặp là những mạch kiến thức quan trọng sẽ giới thiệu cùng các bạn qua bài viết sau đây. Hãy chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình dạy và học bạn nhé !

I.  LÝ THUYẾT VỀ TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập

Theo SGK Hình học 12 thì tích có hướng của hai vectơ định nghĩa theo biểu thức tọa độ như sau:

Trong không gian tọa độ , tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ  và  là một vectơ được kí hiệu là  (hoặc ) và có tọa độ được xác định như sau:

2. Tính chất

Tích có hướng của hai vectơ  và  có một số tính chất quan trọng sau:2

a) Vectơ  vuông góc đồng thời cả hai vectơ  và .

b) 

c) 

Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển câu hỏi ban đầu thành một bài toán và cố gắng sử dụng hiểu biết trên để giải quyết nó.

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

a , b và c đồng phẳng [ a , b ]. c =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

SABCD=|[AB ; AD ]|

+ Diện tích tam giác ABC:

SABC=1/2 |[AB ; AC ]|

+ Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:

VABCD.A’B’C’D’=|[AB; AD ]. AA’ |

+ Thể tích tứ diện ABCD

VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |

II.  CÔNG THỨC TÍNH TÍCH CÓ HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Phần định nghĩa bên trên giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa tích có hướng. Ở hình học 12 ta thường dùng công thức tích có hướng thông qua tọa độ của hai vectơ. Cụ thể tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz được tính như sau

Lưu ý cách ghi nhớ: Cột nào bỏ cột đấy, ở giữa đổi dấu. Tức là hoành bỏ hoành, tung bỏ tung đổi dấu, cao bỏ cao.

III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍCH CÓ HƯỚNG THƯỜNG GẶP

Để hiểu hơn về cách tính tích có hướng của 2 vectơ các bạn có thể tham khảo các dạng bài tập minh họa dưới đây.

Dạng 1: Tính tích có hướng của 2 vectơ

Với dạng bài tập này bạn có thể áp dụng công thức chúng tôi đã cung cấp ở trên.

Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng

B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng

C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng

D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng

Giải

Chọn C.

A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .

D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)

Dạng 3: Tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2