Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán

Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán

Định lý Pytago (hay còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một trong những định lí Hình học cơ bản, tối quan trọng mà bất kì học sinh nào cũng cần nắm vững. Bài viết hôm nay, Zxabooks.com sẽ tổng hợp lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cũng như cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán cực hay. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH LÍ PYTAGO 

1. Định lí Pytago là gì ?

Bạn đang xem: Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán

Định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông.

Định lý pitago thuận phát biểu rằng: “bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là “công thức Pytago”

C²=A²+B²

trong đó C độ dài là cạnh huyền, A,B là độ dài 2 cạnh góc vuông.

Như vậy trong bất kì 1 tam giác vuông nào thì bình phương cạnh huyền cũng sẽ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Theo định lý cho biết, cạnh góc vuông của tam giác kí hiệu là a và b, còn cạnh huyền kí hiệu là c của tam giác vuông đó. Ta luôn có phương trình của định lý Pitago như sau:

A²+B² = C²

(với c là độ dài cạnh huyền và a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.)

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 6cm, AC= 8cm. Tính BC

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Nên $B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$

Vậy BC=10 cm

Chú ý: Dựa vào định lí Pytago, khi ta biết độ dài 2 cạnh của tam giác vuông, ta sẽ tính được độ dài cạnh còn lại

2. Định lí Pytago đảo.

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

$\Delta ABC$ có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác vuông

Phương pháp:

+ Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác

+ So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia

+ Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC= 5 cm, BC= 3 cm, AB= 4 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

Ta có: $A{C}^2=B{C}^2+A{B}^2$( vì $5^2=3^2+4^2$)

Nên tam giác ABC vuông tại B( Định lí Pytago đảo)

Chú ý: Cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác vuôn

II. CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PYTAGO

1. Chứng minh định lí Pytago thuận

2. Chứng minh định lí Pytago đảo

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với (a^2+b^2=c^2). Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c=√(a²+b²) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất.

Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

Chứng minh định lý pytago đảo ở trên sử dụng chính định lý Pytago. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

• Nếu A²+B² = C² thì tam giác là tam giác vuông.
• Nếu A²+B²  > C² nó là tam giác nhọn.
• Nếu A²+B² < C² thì nó là tam giác tù.

III. CÁCH ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ PITAGO VÀO GIẢI BÀI TẬP

1. Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Khi đã biết 2 tọa độ (x,y) là (6, 1), (3, 5), ta sẽ tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y theo các bước sau:

Bước 1: Xác định 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Dựa vào định lý Pitago, ta dễ dàng tính được khoảng cách đường thẳng giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y. Lúc này, ta chỉ cần biết tọa độ x và y của 2 điểm bất kỳ. Bình thường tọa độ x, y sẽ được viết theo cặp thứ tự là tọa độ (x,y)

Muốn tìm khoảng cách giữa 2 điểm này, ta coi mỗi điểm là một trong những góc nhọn của tam giác vuông để thực hiện tính số đo chiều dài cạnh a, cạnh b sau đó tính tiếp độ dài cạnh c là khoảng cách giữa 2 điểm.

Bước 2: Vẽ 2 điểm trên đồ thị

Tọa độ (x, y) trên mặt phẳng X-Y, trong đó x là tọa độ trên trục hoành, y là tọa độ trên trục tung. Từ đó, bạn có thể tìm khoảng cách giữa 2 điểm mà không cần vẽ đồ thị. Vẽ đồ thị ra, hình vẽ sẽ giúp ta nhìn trực quan và rõ ràng hơn rất nhiều.

Bước 3: Tìm độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

Dùng 2 điểm đã cho như các góc của tam giác ngay cạnh huyền, tìm độ dài cạnh góc vuông a và b. Bạn có thể tính qua hình trên đồ thị hoặc dùng công thức tính |x1 – x2| = |3 – 6| = |-3 | = 3

Chiều dài cạnh thẳng đứng tính như sau: |y1 – y2| = |1 – 5| = |-4 | = 4

Như vậy, hai cạnh còn lại của tam giác vuông này là a = 3, b = 4.

Bước 4: Dùng định lý pitago giải phương trình tìm cạnh huyền

Ở ví dụ ở trên, ta biết cạnh huyền là khoảng cách giữa 2 điểm của hình tam giác và tìm được 2 cạnh góc vuông còn lại ở trên. Bây giờ, chúng ta tìm cạnh huyền khi biết độ dài 2 cạnh góc vuông mà ta đặt là cạnh a và cạnh b.

Ở ví dụ trên, các điểm tọa độ (x, y) được cho là (3,5) và (6,1) và cho biết chiều dài 2 cạnh góc vuông là 3 và 4 để tính chiều dài cạnh huyền còn lại. Ta thực hiện cách tính chiều dài cạnh huyền bằng cách thay cạnh có chiều dài đã biết vào phương trình ta được: (3)²+(4)²= c² => c = 9+16 = 25 => c = 5. Như vậy, kết quả cuối cùng của phép tính độ dài là 5 về khoảng cách giữa hai điểm tạo độ (3,5) và (6,1)

2. Cách tìm các cạnh của tam giác vuông

Dựa theo định lý Pitago, ta sẽ cùng đi tìm các cạnh của tam giác vuông theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện tam giác đang xét phải là tam giác vuông

Định lý Pitago chỉ áp dụng được cho trường hợp tam giác vuông. Vì vậy, để tìm được các cạnh của tam giác vuông, hình tam giác đó phải có điều kiện là tam giác vuông với một góc bằng 90 độ. Bạn có thể tìm thấy dấu hiệu hình tam giác vuông trên hình vẽ rất dễ dàng.

Bước 2: Chỉ ra được các cạnh của hình tam giác vuông

Nhìn vào hình, bạn hãy chỉ ra 2 cạnh góc vuông và cạnh huyền. Cạnh luôn đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất sẽ là cạnh huyền. Hai cạnh ngắn hơn sẽ mặc định là 2 cạnh góc vuông. Ví dụ nếu tam giác ABC có cạnh góc vuông là ABC thì cạnh góc vuông là cạnh AB và BC còn cạnh huyền là AC. Theo định lý Pitago, a, b là kí hiệu của 2 cạnh góc vuông, c là kí hiệu của cạnh huyền.

Bước 3: Xác định cạnh huyền cần tìm của tam giác vuông đó

Với định lý Pitago, ta có thể tìm được độ dài bất kỳ của cạnh của một tam giác vuông nào bằng công thức trên chỉ cần biết chiều dài 2 cạnh còn lại:

a2+b2=c2

Có nghĩa là bạn sẽ xác định cạnh chưa biết là a, b hay c. Nếu đã biết độ dài của 2 cạnh và 1 cạnh chưa biết của hình tam giác, bạn có thể bắt đầu.

Bước 4: Thay giá trị độ dài 2 cạnh vào phương trình

a2+b2=c2

Trong đó, a, b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền. Nếu a = 3, c = 5 ta có

32+b2=52

Bước 5: Tính bình phương

Giải phương trình, bạn tính bình phương mỗi cạnh đã biết. Nếu đơn giản, bạn để ở dạng số mũ rồi tính sau. Trong ví dụ này, bình phương lên ta được

9+b2=25

Bước 6: Tách biến chưa biết sang một vế của phương trình

Nếu tính từng bước chi tiết, bạn sử dụng phép toán tính số hạng của tổng để chuyển hai số đã biết sang một bên của phương trình và số chưa biết ở một bên phương trình. Lúc này, cạnh huyền c đã ở một vế riêng để bạn tính hiệu số. =>

b2=16

Bước 7: Giảm bình phương của cả hai vế phương trình

Kết quả

b2=16

cho thấy một vế của phương trình còn một biến bình phương còn vế kia là một số xác định. Giảm bình phương của cả 2 vế ta sẽ được b = 4. Như vậy kết quả của bài toán là 4, chiều dài số đo của cạnh cần tìm.

Bước 8: Sử dụng định lý Pitago để tìm cạnh của tam giác vuông trong thực tế

Định lý Pitago được sử dụng rất nhiều trong thực tế. Vì vậy, bạn chỉ cần nhận biết tam giác vuông trong thực tế trong bất kỳ trường hợp nào. Áp dụng vào thực tế cuộc sống, chỉ cần 2 đường thẳng giao nhau hoặc 2 vật giao nhau tạo ra một góc vuông đồng thời có một đường thẳng hay vật thứ 3 cắt chéo qua góc vuông đã tạo ra một hình tam giác vuông. Từ đó, bạn có thể sử dụng định lý pitago tìm độ dài cạnh nào đó khi biết số đo 2 cạnh còn lại.

Bài viết trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn Định lí Pytago và cách ứng dụng định lí Pytago vào giải toán cực hay. Hi vọng, những chia sẻ trên đây hữu ích với bạn. Xem thêm định lí Ceva nữa bạn nhé !