Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình

Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình

Định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Vì vậy, nắm vững công thức này, tạo cơ hội cho bạn chinh phục thêm nhiều đỉnh cao mới. Hãy dành thời gian chia sẻ bài viết sau đây cả để nắm vững hơn chuyên đề này và cách ứng dụng định lí Vi-et giải phương trình cực hay.

I. ĐỊNH LÍ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

1. Định lý Vi-ét thuận.

Bạn đang xem: Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

 

 

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/aNếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

2. Định lý Vi-ét đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

 

 

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

3. Định lý Vi- ét bậc 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT

Dạng 1: Áp dụng định lý Vi-ét tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

 

 

Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2Một số biểu diễn quen thuộc:

 

 

Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Ví dụ 1: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

 

 

Hãy chứng minh:

 

 

Hướng dẫn:

 

 

 

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

 

 

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

 

 

Lại có:

 

 

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

 

 

Ta có: S=S7.

Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.

Dạng 2: Ứng dụng hệ thức Vi-ét tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

 

 

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.Nếu S2-4P

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

 

 

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

 

 

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

 

 

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

 

 

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

 

 

Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

Ví dụ 3: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

 

 

 

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

 

 

Trường hợp 1:

 

 

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2

Trường hợp 2:

 

 

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.

Dạng 3: Áp dụng định lý Vi-ét vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

 

 

tồn tại nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho:

 

 

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

 

 

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

 

 

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

 

(2)

 

Mặt khác, theo đề:

 

 

Trường hợp 1:

 

 

Trường hợp 2:

 

 

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

Có đúng 1 nghiệm âm.Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

 

 

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là: