Giải bài 31, 32, 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài tập trang 54 bài 6 hệ thức Vi-et và ứng dụng SGK Toán 9 tập 2. Câu 31: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình…

Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) (1,5{x^2}-{rm{ }}1,6x{rm{ }} + {rm{ }}0,1{rm{ }} = {rm{ }}0);          

Bạn đang xem: Giải bài 31, 32, 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

b) (sqrt 3 {x^2}-{rm{ }}left( {1{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 3 } right)x{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0)

c) (left( {2{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 3 } right){x^2} + {rm{ }}2sqrt 3 x{rm{ }}-{rm{ }}left( {2{rm{ }} + {rm{ }}sqrt 3 } right){rm{ }} = {rm{ }}0);

d) (left( {m{rm{ }}-{rm{ }}1} right){x^2}-{rm{ }}left( {2m{rm{ }} + {rm{ }}3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }} + {rm{ }}4{rm{ }} = {rm{ }}0) với (m ≠ 1).
Bài giải:

a) Phương trình (1,5{x^2}-{rm{ }}1,6x{rm{ }} + {rm{ }}0,1{rm{ }} = {rm{ }}0)

Có (a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0) nên ({x_1} = 1;{x_2} = {rm{ }}{{0,1} over {15}} = {1 over {150}})

b) Phương trình (sqrt 3 {x^2}-{rm{ }}left( {1{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 3 } right)x{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0)

Có (a – b + c = sqrt{3} + (1 – sqrt{3}) + (-1) = 0) nên ({x_1} =  – 1,{x_2} =  – {{ – 1} over {sqrt 3 }} = {rm{ }}{{sqrt 3 } over 3})

c) (left( {2{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 3 } right){x^2} + {rm{ }}2sqrt 3 x{rm{ }}-{rm{ }}left( {2{rm{ }} + {rm{ }}sqrt 3 } right){rm{ }} = {rm{ }}0)

Có (a + b + c = 2 – sqrt{3} + 2sqrt{3} – (2 + sqrt{3}) = 0)

Nên ({x_1} = 1,{x_2} = {rm{ }}{{ – (2 + sqrt 3 )} over {2 – sqrt 3 }} =  – {(2 + sqrt 3 )^2} =  – 7 – 4sqrt 3 )

d) (left( {m{rm{ }}-{rm{ }}1} right){x^2}-{rm{ }}left( {2m{rm{ }} + {rm{ }}3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }} + {rm{ }}4{rm{ }} = {rm{ }}0)

Có (a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0)

Nên ({x_1} = 1,{x_2} = {rm{ }}{{m + 4} over {m – 1}})

Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) (u + v = 42), (uv = 441);                        

b) (u + v = -42), (uv = -400);

c) (u – v = 5), (uv = 24).

Bài giải:

a) (u + v = 42), (uv = 441) => (u, v) là nghiệm của phương trình:

({x^2}-{rm{ }}42x{rm{ }} + {rm{ }}441{rm{ }} = {rm{ }}0)

(Delta {rm{ }} = {rm{ }}{21^2}-{rm{ }}441{rm{ }} = {rm{ }}441{rm{ }}-{rm{ }}441{rm{ }} = {rm{ }}0)

({rm{ }}sqrt {Delta ‘} {rm{ }} = {rm{ }}0;{rm{ }}{x_1} = {rm{ }}{x_2} = {rm{ }}21)

Vậy (u = v = 21)

b) (u + v = -42, uv = -400), (u, v) là nghiệm của phương trình:

({x^2} + {rm{ }}42x{rm{ }}-{rm{ }}400{rm{ }} = {rm{ }}0)

(Delta’ {rm{ }} = {rm{ }}441{rm{ }} + {rm{ }}400{rm{ }} = {rm{ }}841)

(sqrt {Delta ‘} {rm{ }} = {rm{ }}29;{rm{ }}{x_1} = {rm{ }}8,{rm{ }}{x_2} = {rm{ }} – 50).

Do đó: (u = 8, v = -50) hoặc (u = -50, v = 8)

c) (u – v = 5, uv = 24). Đặt (–v = t), ta có (u + t = 5, ut = -24), ta có (u,t) là nghiệm của phương trình: ({x^2} – 5x – 24 = 0)

Giải ra ta được: ({x_1} = {rm{ 8}},{rm{ }}{x_2} = {rm{  – 3}})

Vậy (u = 8, t = -3) hoặc (u = -3, t = 8).

Do đó: (u = 8, v = 3) hoặc (u = -3, t = 8).

Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình (a{x^2} + bx + c = 0) có nghiệm là ({x_1}) và ({x_2}) thì tam thức  (a{x^2} + bx + c ) phân tích được thành nhân tử như sau:

(a{x^2} + {rm{ }}bx{rm{ }} + {rm{ }}c{rm{ }} = {rm{ }}a(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_1})(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_2})).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)(2{x^2}-{rm{ }}5x{rm{ }} + {rm{ }}3)

b) ({rm{ }}3{x^2} + {rm{ }}8x{rm{ }} + {rm{ }}2)

Bài giải:

Biến đổi vế phải: (a(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_1})(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_2}){rm{ }} = {rm{ }}a{x^2}-{rm{ }}a({x_1} + {rm{ }}{x_2})x{rm{ }} + {rm{ }}a{x_1}{x_2})

( = a{x^2} – aleft( { – {b over a}} right)x + a{c over a} = a{x^2} + bx + c)

Vậy phương trình (a{x^2} + bx + c = 0) có nghiệm là ({x_1},{x_2}) thì:

            (a{x^2} + {rm{ }}bx{rm{ }} + {rm{ }}c{rm{ }} = {rm{ }}a(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_1})(x{rm{ }}-{rm{ }}{x_2})).      

Áp dụng:

a) Phương trình (2{x^2}-{rm{ }}5x{rm{ }} + {rm{ }}3{rm{ }} = {rm{ }}0) có (a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0) nên có hai nghiệm là ({x_1} = 1,{x_2} = {rm{ }}{3 over 2}) nên:

(2{x^2}{rm{  + }}5x + 3 = 2(x{rm{ – }}1)(x – {rm{ }}{3 over 2}) = (x – 1)(2x – 3))

b) Phương trình  ({rm{ }}3{x^2} + {rm{ }}8x{rm{ }} + {rm{ }}2) có (a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2).

Nên (Delta {rm{ }} = {rm{ }}{4^2}-{rm{ }}3{rm{ }}.{rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}10), có hai nghiệm là:

({x_1}) = (frac{-4 – sqrt{10}}{3}), ({x_2})= (frac{-4 + sqrt{10}}{3})

nên: (3{x^2} + 8x + 2 = 3(x – {rm{ }}{{ – 4 – sqrt {10} } over 3})(x – {rm{ }}{{ – 4 + sqrt {10} } over 3}))

( = 3(x + {rm{ }}{{4 + sqrt {10} } over 3})(x + {rm{ }}{{4 – sqrt {10} } over 3}))

Trường

Giải bài tập