Giải bài 40, 41, 42, 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài tập trang 27 bài ôn tập chương III SGK Toán 9 tập 2. Câu 40: Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được…

Bài 40 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

a)(left{ matrix{2{rm{x}} + 5y = 2 hfill cr {2 over 5}x + y = 1 hfill cr} right.)

Bạn đang xem: Giải bài 40, 41, 42, 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

b) (left{ matrix{0,2{rm{x}} + 0,1y = 0,3 hfill cr 3{rm{x}} + y = 5 hfill cr} right.)

c) (left{ matrix{{3 over 2}x – y = {1 over 2} hfill cr 3{rm{x}} – 2y = 1 hfill cr} right.)

Giải

a) Giải hệ phương trình: 

(left{ matrix{
2{rm{x}} + 5y = 2(1) hfill cr
{2 over 5}x + y = 1(2) hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2{rm{x}} + 5y = 2(1′) hfill cr
– 2{rm{x}} – 5y = – 5(2′) hfill cr} right.)

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được: (0x + 0y = -3)

Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

– Vẽ đồ thị hàm số (2x + 5y = 2).

Cho (y = 0 ⇒  x = 1). Ta xác định được điểm (A(1; 0))

Cho (y = 1 ⇒ x = -1,5). Ta xác định được điểm (B(-1,5; 1)).

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số  ({2 over 5}x + y = 1 Leftrightarrow 2{rm{x}} + 5y = 5)

Cho (x = 0 ⇒ y = 1). Ta xác định được điểm (C(0; 1))

Cho (y = 2 ⇒ x = -2,5). Ta xác định được điểm (D(-2,5; 2))

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

b) Giải hệ phương trình:  

(left{ matrix{
0,2{rm{x}} + 0,1y = 0,3(1) hfill cr
3{rm{x}} + y = 5(2) hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
– 2{rm{x}} – y = – 3(1′) hfill cr
3{rm{x}} + y = 5(2′) hfill cr} right.)

Cộng (1’) với (2’) vế theo vế, ta được (x = 2)

Thế (x = 2) vào (2), ta được: (6 + y = 5 ⇔ y = -1)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ((x = 2; y = -1))

Minh họa hình học:

– Đồ thị hàm số (0,2x + 0,1y = 0,3) là một đường thẳng đi qua hai điểm:

(A(x = 0; y = 3)) và (B(x = 1,5; y = 0))

– Đồ thị hàm số (3x + y = 5) là một đường thẳng đi qua hai điểm (C(x = 0; y = 5)) và (D(x = 1; y = 2))

– Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: (M(x = 2; y = -1)).

Vậy ((2; -1)) là một nghiệm của hệ phương trình.

c) Giải hệ phương trình:

(left{ matrix{
{3 over 2}x – y = {1 over 2}(1) hfill cr
3{rm{x}} – 2y = 1(2) hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
– 3{rm{x}} + 2y = – 1(1′) hfill cr
3{rm{x}} – 2y = 1(2′) hfill cr} right.)

Cộng (1’) và (2’) vế theo vế, ta có: (0x + 0y = 0).

Phương trình này có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là (left( {x;{3 over 2}x – {1 over 2}} right))  với (x ∈ R)

Minh họa hình học

– Đồ thị hàm số (1) là đường thẳng đi qua hai điểm (A(0;  – {1 over 2})) và (B(1;1)) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.

 

---

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

a) 

(left{ matrix{
xsqrt 5 – left( {1 + sqrt 3 } right)y = 1 hfill cr
left( {1 – sqrt 3 } right)x + ysqrt 5 = 1 hfill cr} right.)

b)  

(left{ matrix{
{{2{rm{x}}} over {x + 1}} + {y over {y + 1}} = sqrt 2 hfill cr
{x over {x + 1}} + {{3y} over {y + 1}} = – 1 hfill cr} right.)

Giải:

a) 

(left{ matrix{
xsqrt 5 – left( {1 + sqrt 3 } right)y = 1(1) hfill cr
left( {1 – sqrt 3 } right)x + ysqrt 5 = 1(2) hfill cr} right.)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có  (x = {{left( {1 + sqrt 3 } right)y + 1} over {sqrt 5 }}(3))

Thế (3) vào (2), ta được:  

(eqalign{
& left( {1 – sqrt 3 } right)left[ {{{left( {1 + sqrt 3 } right)y + 1} over {sqrt 5 }}} right] + ysqrt 5 = 1 cr
& Leftrightarrow left( {1 – sqrt 3 } right)left( {1 + sqrt 3 } right)y + left( {1 – sqrt 3 } right) + 5y = sqrt 5 cr
& Leftrightarrow – 2y + 5y = sqrt 5 + sqrt 3 – 1 Leftrightarrow y = {{sqrt 5 + sqrt 3 – 1} over 3} cr} )

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

(x = {{left( {1 + sqrt 3 } right)left( {{{sqrt 5  + sqrt 3  – 1} over 3}} right) + 1} over {sqrt 5 }}) hay  (x = {{sqrt 5  + sqrt 3  + 1} over 3})

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (left( {{{sqrt 5  + sqrt 3  + 1} over 3};{{sqrt 5  + sqrt 3  – 1} over 3}} right))

b)Giải hệ phương trình: (I) 

(left{ matrix{
{{2{rm{x}}} over {x + 1}} + {y over {y + 1}} = sqrt 2 hfill cr
{x over {x + 1}} + {{3y} over {y + 1}} = – 1 hfill cr} right.)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt (u = {x over {x + 1}};v = {y over {y + 1}})

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là (u) và (v) ta được:

(left{ matrix{
2u + v = sqrt 2 (1′) hfill cr
u + 3v = – 1(2′) hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2u + v = sqrt 2 (3) hfill cr
– 2u – 6v = 2(4) hfill cr} right.)

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: ( – 5{rm{v}} = 2 + sqrt 2  Leftrightarrow v = {{ – left( {2 + sqrt 2 } right)} over 5})

Thay (v = {{ – left( {2 + sqrt 2 } right)} over 5}) vào (1’), ta được:

(2u = {{2 + sqrt 2 } over 5} + sqrt 2  Leftrightarrow 2u = {{2 + sqrt 2  + 5sqrt 2 } over 5} = {{2 + 6sqrt 2 } over 5})

(Leftrightarrow u = {{1 + 3sqrt 2 } over 5})

Với giá trị của (u,v) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm (x, y).

Ta có: 

(left{ matrix{
{x over {x + 1}} = {{1 + 3sqrt 2 } over 5} hfill cr
{y over {y + 1}} = {{ – 2 – sqrt 2 } over 5} hfill cr} right.đkleft{ matrix{
x ne – 1 hfill cr
y ne – 1 hfill cr} right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
x = left( {x + 1} right)left( {{{1 + 3sqrt 2 } over 5}} right) hfill cr
y = left( {y + 1} right){{left( { – 2 – sqrt 2 } right)} over 5} hfill cr} right.)

(left{ matrix{
5{rm{x}} = left( {x + 1} right)left( {1 + 3sqrt 2 } right) hfill cr
5y = left( {y + 1} right)left( { – 2 – sqrt 2 } right) hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {{1 + 3sqrt 2 } over {4 – 3sqrt 2 }} hfill cr
y = {{-2 – sqrt 2 } over {7 + sqrt 2 }} hfill cr} right.)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (left( {{{1 + 3sqrt 2 } over {4 – 3sqrt 2 }};{{-2 – sqrt 2 } over {7 + sqrt 2 }}} right)) thỏa mãn điều kiện

 

Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình(left{ matrix{2{rm{x}} – y = m hfill cr 4{rm{x}} – {m^2}y = 2sqrt 2 hfill cr} right.) trong mỗi trường hợp sau:

a) (m = -sqrt{2})       b) (m = sqrt{2})        c) (m = 1)

Giải:

(I) (left{ matrix{2{rm{x}} – y = m(1) hfill cr 4{rm{x}} – {m^2}y = 2sqrt 2 (2) hfill cr} right.)

Ta có (1) ⇔ (y = 2x – m) (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

(4{rm{x}} – {m^2}left( {2{rm{x}} – m} right) = 2sqrt 2)

( Leftrightarrow 2left( {2 – {m^2}} right)x = 2sqrt 2  – {m^3}(*)) 

a) Với (m = – sqrt{2}). Thế vào phương trình (*), ta được:

(2(2 – 2)x = 2sqrt{2} + 2sqrt{2} ⇔ 0x = 4sqrt{2})

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Với (m = sqrt{2}). Thế vào phương trình (*), ta được:

(2(2 – 2)x = 2sqrt{2} – 2sqrt{2} ⇔ 0x = 0)

Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.

c) Với (m = 1). Thế vào phương trình (*), ta được:

(2.(2-1)x = 2sqrt 2  – 1 Leftrightarrow 2{rm{x}} = 2sqrt 2  – 1)

(Leftrightarrow x = {{2sqrt 2  – 1} over 2}) 

Thay (x) vừa tìm được vào (3), ta có: (y = 2sqrt{2} – 2)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: (left( {{{2sqrt 2  – 1} over 2};2sqrt 2  – 2} right))

 

Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Giải:

Gọi (x) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ A và (y) (m/phút) là vận tốc của người xuất phát từ B.

Điều kiện: (x > 0; y > 0)

– Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét.

Ta có phương trình: ({{2000} over x} = {{1600} over y}(1)) 

– Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m.

Ta có phương trình ({{1800} over x} + 6 = {{1800} over y}(2)) 

Ta có hệ phương trình: (I) (left{ matrix{{{2000} over x} = {{1600} over y}(1) hfill cr {{1800} over x} + 6 = {{1800} over y}(2) hfill cr} right.)

Đặt (u = {{100} over x}) và (v = {{100} over y}) . Thay vào (I), ta được:  

(left( I right) Leftrightarrow left{ matrix{20u = 16v hfill cr 18u + 6 = 18v hfill cr} right.)

Giải hệ phương trình ta được (u = {4 over 3}) và (v = {5 over 3}) 

– Với ({{100} over x} = u = {4 over 3} Leftrightarrow x = 75) (nhận)

– Với ({{100} over y} = v = {5 over 3} Leftrightarrow y = 60) (nhận)

Vậy vận tốc của người đi từ A là 75m/phút và người đi từ B là 60m/phút.

Trường

Giải bài tập