Giải bài 41, 42, 5.1 trang 13 SBT Toán 8 tập 2

Giải bài tập trang 13 bài 5 phương trình chứa ẩn ở mẫu Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Câu 41: Giải các phương trình sau…

Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình sau:

a. ({{2x + 1} over {x – 1}} = {{5left( {x – 1} right)} over {x + 1}})

Bạn đang xem: Giải bài 41, 42, 5.1 trang 13 SBT Toán 8 tập 2

b. ({{x – 3} over {x – 2}} + {{x – 2} over {x – 4}} =  – 1)

c. ({1 over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {4 over {{x^2} + x + 1}})

d. ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {{x^2} – 9}})

Giải:

a. ({{2x + 1} over {x – 1}} = {{5left( {x – 1} right)} over {x + 1}}$                       ĐKXĐ:  

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{left( {2x + 1} right)left( {x + 1} right)} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = {{5left( {x – 1} right)left( {x – 1} right)} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}  cr  &  Leftrightarrow left( {2x + 1} right)left( {x + 1} right) = 5left( {x – 1} right)left( {x – 1} right)  cr  &  Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} – 10x + 5  cr  &  Leftrightarrow 2{x^2} – 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0  cr  &  Leftrightarrow  – 3{x^2} + 13x – 4 = 0  cr  &  Leftrightarrow 3{x^2} – x – 12x + 4 = 0  cr  &  Leftrightarrow xleft( {3x – 1} right) – 4left( {3x – 1} right) = 0  cr  &  Leftrightarrow left( {3x – 1} right)left( {x – 4} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow x – 4 = 0) hoặc (3x – 1 = 0)

            +)  (x – 4 = 0 Leftrightarrow x = 4) (thỏa mãn)

             +)  (3x – 1 = 0 Leftrightarrow x = {1 over 3}) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc (x = {1 over 3})

b. ({{x – 3} over {x – 2}} + {{x – 2} over {x – 4}} =  – 1)                           ĐKXĐ: (x ne 2)và (x ne 4)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{left( {x – 3} right)left( {x – 4} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}} + {{left( {x – 2} right)left( {x – 2} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}} =  – {{left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}}  cr  &  Leftrightarrow left( {x – 3} right)left( {x – 4} right) + left( {x – 2} right)left( {x – 2} right) =  – left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)  cr  &  Leftrightarrow {x^2} – 4x – 3x + 12 + {x^2} – 2x – 2x + 4 =  – {x^2} + 4x + 2x – 8  cr  &  Leftrightarrow 3{x^2} – 17x + 24 = 0  cr  &  Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 8x + 24 = 0  cr  &  Leftrightarrow 3xleft( {x – 3} right) – 8left( {x – 3} right) = 0  cr  &  Leftrightarrow left( {3x – 8} right)left( {x – 3} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow 3x – 8 = 0) hoặc (x – 3 = 0)

+ (3x – 8 = 0 Leftrightarrow x = {8 over 3}) (thỏa mãn)

+ (x – 3 = 0 Leftrightarrow x = 3) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm (x = {8 over 3}) hoặc x = 3

c. ({1 over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {4 over {{x^2} + x + 1}})                      

ĐKXĐ:  (x ne 1)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} over {{x^3} – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {{4left( {x – 1} right)} over {{x^3} – 1}}  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4left( {x – 1} right)  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x – 4x =  – 4 + 5 – 1  cr  &  Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0  cr  &  Leftrightarrow 3xleft( {x – 1} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow x = 0) (thỏa) hoặc (x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 0

d. ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {{x^2} – 9}})                       ĐKXĐ: (x ne  pm 3) và (x =  – {7 over 2})

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{13left( {x + 3} right)} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}} + {{{x^2} – 9} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}} = {{6left( {2x + 7} right)} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}}  cr  &  Leftrightarrow 13left( {x + 3} right) + {x^2} – 9 = 6left( {2x + 7} right)  cr  &  Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0  cr  &  Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4x – 12 = 0  cr  &  Leftrightarrow xleft( {x – 3} right) + 4left( {x – 3} right) = 0  cr  &  Leftrightarrow left( {x + 4} right)left( {x – 3} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow x + 4 = 0) hoặc (x – 3 = 0)

+ (x + 4 = 0 Leftrightarrow x =  – 4) (thỏa mãn)

+ (x – 3 = 0 Leftrightarrow x = 3) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -4

---

Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho phương trình ẩn:

({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {x^2}}})

a. Giải phương trình với a = -3

b. Giải phương trình với a = 1

c. Giải phương trình với a = 0

d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.

Giải:

a. Khi a = -3, ta có phương trình:

({{x – 3} over { – 3 – x}} + {{x + 3} over { – 3 + x}} = {{ – 3left[ {3left( { – 3} right) + 1} right]} over {{{left( { – 3} right)}^2} – {x^2}}})                       ĐKXĐ: (x ne  pm 3)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} + {{x + 3} over {x – 3}} = {{24} over {9 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} – {{x + 3} over {x – 3}} =  – {{24} over {{x^2} – 9}}  cr  &  Leftrightarrow {{left( {3 – x} right)left( {x – 3} right)} over {{x^2} – 9}} – {{left( {x + 3} right)left( {x + 3} right)} over {{x^2} – 9}} =  – {{24} over {{x^2} – 9}}  cr  &  Leftrightarrow left( {3 – x} right)left( {x – 3} right) – {left( {x + 3} right)^3} =  – 24  cr  &  Leftrightarrow 3x – 9 – {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 =  – 24  cr  &  Leftrightarrow 12x =  – 24 cr} )

( Leftrightarrow x =  – 2) (thỏa)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

({{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {{1left( {3.1 + 1} right)} over {{1^2} – {x^2}}})                       ĐKXĐ: (x ne  pm 1)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {4 over {1 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {1 – {x^2}}} + {{left( {x – 1} right)left( {1 – x} right)} over {1 – {x^2}}} = {4 over {1 – {x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow {left( {x + 1} right)^2} + left( {x – 1} right)left( {1 – x} right) = 4  cr  &  Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x – {x^2} – 1 + x = 4  cr  &  Leftrightarrow 4x = 4 cr} )

( Leftrightarrow x = 1) (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình: ({x over { – x}} + {x over x} = {0 over {{x^2}}})                      

ĐKXĐ: (x ne 0)

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{ – {x^2}} over {{x^2}}} + {{{x^2}} over {{x^2}}} = {0 over {{x^2}}}  cr  &  Leftrightarrow  – {x^2} + {x^2} = 0 Leftrightarrow 0x = 0 cr} )

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của (x ne 0)

 Vậy phương trình có nghiệm (x in R/x ne 0)

d. Thay (x = {1 over 2}) vào phương trình, ta có:

({{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {{left( {{1 over 2}} right)}^2}}})                        ĐKXĐ: (x ne  pm {1 over 2})

(eqalign{  &  Leftrightarrow {{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {1 over 4}}}  cr &  Leftrightarrow {{1 + 2a} over {2a – 1}} + {{1 – 2a} over {2a + 1}} = {{4aleft( {3a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}}  cr  &  Leftrightarrow {{left( {1 + 2a} right)left( {2a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}} + {{left( {1 – 2a} right)left( {2a – 1} right)} over {4{a^2} – 1}} = {{4aleft( {3a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}}  cr  &  Leftrightarrow left( {1 + 2a} right)left( {2a + 1} right) + left( {1 – 2a} right)left( {2a – 1} right) = 4aleft( {3a + 1} right)  cr  &  Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a – 1 – 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a  cr  &  Leftrightarrow 12{a^2} – 4a = 0  cr  &  Leftrightarrow 4aleft( {3a – 1} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow 4a = 0) hoặc (3a – 1 = 0)  

( Leftrightarrow a = 0) (thỏa) hoặc (a = {1 over 3}) (thỏa)

Vậy khi a = 0 hoặc (a = {1 over 3}) thì phương trình ({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {x^2}}}) nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.

 

---

Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình

a. ({2 over {x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x – 2}}}}}} = {6 over {3x – 1}})

b. ({{{{x + 1} over {x – 1}} – {{x – 1} over {x + 1}}} over {1 + {{x + 1} over {x – 1}}}} = {{x – 1} over {2left( {x + 1} right)}})

c. ({5 over x} + {4 over {x + 1}} = {3 over {x + 2}} + {2 over {x + 3}})

Giải:

a. Ta có: (x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x – 2}}}} = x + {{x – 2} over {2x – 1}} = {{2left( {{x^2} – 1} right)} over {2x – 1}})

ĐKXĐ của phương trình là (x ne 2,x ne {1 over 2},x ne  pm 1,x ne {1 over 3}). Ta biến đổi phương trình đã cho thành

({{2x – 1} over {{x^2} – 1}} = {6 over {3x – 1}}). Khử mẫu và rút gọn:

(eqalign{  & left( {2x – 1} right)left( {3x – 1} right) = 6left( {{x^2} – 1} right)  cr  &  Leftrightarrow  – 5x + 1 =  – 6  cr  &  Leftrightarrow x = {7 over 5} cr} )

Giá trị (x = {7 over 5}) thỏa mãn ĐKXĐ.  Vậy phương trình có nghiệm là (x = {7 over 5})

b. Cách 1. ĐKXĐ: (x ne  pm 1). Biến đổi vế trái thành ({{4x} over {{x^2} – 1}}.{{x – 1} over {2x}} = {2 over {x + 1}}), ta đưa phương trình đã cho về dạng ({2 over {x + 1}} = {{x – 1} over {2left( {x + 1} right)}}).

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

(eqalign{  & 4left( {x + 1} right) = left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)  cr  &  Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {x – 5} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow x =  – 1) hoặc (x = 5)

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt ({{x + 1} over {x – 1}} = y), ta có phương trình ({{y – {1 over y}} over {1 + y}} = {1 over {2y}}). ĐKXĐ của phương trình này là (y ne 0) và (y ne  – 1). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

(eqalign{  & 2{y^2} – 2 = 1 + y  cr  &  Leftrightarrow 2left( {{y^2} – 1} right) – left( {y + 1} right) = 0  cr  &  Leftrightarrow left( {y + 1} right)left( {2y – 3} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow y =  – 1) hoặc (y = {3 over 2})

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có (y = {3 over 2}) là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình ({{x + 1} over {x – 1}} = {3 over 2})

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: (x in left{ {0; – 1; – 2; – 3} right}). Ta biến đổi phương trình như sau:

(eqalign{  & {5 over x} + {2 over {x + 3}} = {4 over {x + 1}} + {3 over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow left( {{5 over x} + 1} right) + left( {{2 over {x + 3}} + 1} right) = left( {{4 over {x + 1}} + 1} right) + left( {{3 over {x + 2}} + 1} right)  cr  &  Leftrightarrow {{5 + x} over x} + {{5 + x} over {x + 3}} = {{5 + x} over {x + 1}} + {{5 + x} over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow left( {5 + x} right)left( {{1 over x} + {1 over {x + 3}} – {1 over {x + 1}} – {1 over {x + 2}}} right) = 0  cr  &  Leftrightarrow 5 + x = 0(1) cr} )

hoặc ({1 over x} + {1 over {x + 3}} – {1 over {x + 1}} – {1 over {x + 2}} = 0)  (2)

Ta có:

(1) ( Leftrightarrow x =  – 5)

(2) (eqalign{  &  Leftrightarrow {1 over x} + {1 over {x + 3}} = {1 over {x + 1}} + {1 over {x + 2}}  cr  &  Leftrightarrow {{2x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{2x + 3} over {left( {x + 1} right)left( {x + 2} right)}}  cr  &  Leftrightarrow left( {2x + 3} right)left( {{1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}}} right) = 0 cr} )

( Leftrightarrow 2x + 3 = 0) hoặc ({1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0)

+ (2x + 3 = 0 Leftrightarrow x =  – {3 over 2})

+ ({1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (left{ { – 5; – {3 over 2}} right})

Trường

Giải bài tập