Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ≠ 0). Phương pháp giải các dạng bài tập

Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ≠ 0). Phương pháp giải các dạng bài tập

Chuyên đề về Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ≠ 0) là phần kiến thức trọng tâm của Toán 7, phân môn Đại số. Phần kiến này sẽ được tiếp tục mở rộng trong những lớp học cao hơn với nhiều dạng đồ thị khác nhau. Bài viết hôm nay, sẽ giới thiệu đến các bạn tất cả các kiến thức cần ghi nhớ liên quan đến chuyên đề này. Cùng tìm hiểu bạn nhé !

I. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ≠ 0). Phương pháp giải các dạng bài tập

– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó  là các số cho trước và $a\ne 0$.

– Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by=c$ ($a,b,c$ là các số đã biết, $a\ne 0$hoặc $b\ne \mathrm{0.)}$

   Nếu $b\ne 0$ thì có thể đưa phương trình về dạng $y=mx+n$

– Hàm số $y=a{\mathrm{x2}}^{}(a\ne 0)$ là hàm số bậc hai đặc biết.

2. Tính chất

– Hàm số bậc nhất $y=ax+b(a\ne 0)$ xác định với mọi giá trị của $x\in R$ và:

   + Đống biết trên  khi $a>0$;

   + Nghịch biến trên  khi $a<0$.

– Hàm số $y=a{x}^2(a\ne 0)$ xác định với mọi giá trị của $x\in R$ và:

   + Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biết khi $x<0$, đồng biến khi $x>0$;

   + Nếu $a<0$ thì hàm số nghịch biết khi $x>0$, đồng biến khi $x<0$.

3. Đồ thị

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol

II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỚP 7

1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0)

Phương pháp giải.

• Vẽ đường thẳng qua điểm O(0 ; 0) và điểm A(1 ; a).

Ví dụ:

Vẽ trên cùng một hệ trục tạo độ Oxy đồ thị của các hàm số

a) y = x ;

b) y = 3x ;

c) y = – 2x ;

d) y = -x.

Giải.

a) Đồ thị hàm số y = x là đường thẳng OA với O(0 ; 0) và A (1; 1)

b) Đồ thị hàm số y = 3x là đường thẳng OB với O(0 ; 0) và B(1; 3)

c) Đồ thị hàm số y = – 2x là đường thẳng OC với O(0 ; 0) và C(1 ; – 2)

d) Đồ thị hàm số y = – x là đường thẳng OD với O(0 ; 0) và D(- 2 ; 2).

2. Dạng 2: Xác định đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x hay không

Phương pháp giải:

• Kiểm tra điều kiện: mỗi giá trị của x được tương ứng với 1 giá trị của y.
• Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x hay không.
• Vì mỗi giá trị của x luôn luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

Ví dụ 1: Đại lượng x lấy các giá trị là các số tự nhiên, đại lượng y lấy giá trị là số dư của phép chia x cho 3. Đại lượng y có phải là hàm số cảu đại lượng x không?

Gợi ý: Đại lượng y là hàm số của đại lượng x vì ứng với mỗi giá trị tương ứng của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y

Ví dụ 2: Bảng sau đây có cho ta một hàm số không? Nếu không thì thay đổi như thế nào để được một hàm số:

Hướng dẫn:

Bảng này không xác định hàm số vì giá trị x = 6 không có giá trị tương ứng của y.

Có thể thay đổi bằng một trong hai cách

– Với x = 6 cho thêm một giá trị tương ứng của y.

– Bỏ giá trị 6 của x.

3. Dạng 3: Tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của biến

Phương pháp giải: 

• Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng một cột.
• Nếu hàm số cho bằng công thức ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương ứng của hàm số.

Ví dụ 1:

Bảng sau đây có xác định một hàm số không? Tìm giá trị của y tại x = – 2,3 ; x = – 4,5 ; x = 0.

Hướng dẫn:

Bảng này có xác định đại lượng y là hàm số của đại lượng x. 

Khi x = -2,3 thì y = 5, khi x = – 4,5 thì y = 7, khi x = 0 thì y = 2.

Ví dụ 2:

Một hàm số được cho bằng công thức: y = f(x) = – x² + 2.

Hướng dẫn:

4. Dạng 4: Tìm tọa độ một điểm và vẽ một điểm khi biết tọa độ. Tìm các điểm trên một đồ thị hàm số, biểu diễn và tính diện tích.

Phương pháp giải:

• Muốn tìm tọa độ một điểm ta vẽ hai đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ
• Để tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta cho bất kì một giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng.
• Có thể tìm diện tích trực tiếp hoặc gián tiếp qua hình chữ nhật

Ví dụ:

Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = – 0,5x. Bằng đồ thị hãy tìm:

a) f(2) ; f(- 2) ; f(4) ; f(0) ;

b) Giá trị của x khi y = -1 ; y = 0 ; y =2,5 ; 

c) Các giá trị của x khi y dương, khi y âm.

Khi x = 2 thì y = – 0,5.2 = -1. Vậy điểm A(2;- 1) thuộc đồ thi của hàm số y = f(x) . Đồ thị của hàm số này là đường thẳng OA trong hình vẽ bên.

Trên đồ thị ta thấy:

a) f(2) = – 1 ; f(- 2) = 1; f(4) = – 2 ; f(0).

b) y = -1 ⇒ x = 2 ; 

y = 0 ⇒ x  = 2;

y = 2,5 ⇒ x  =- 5.

c) y > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và ở bên trái trục tung (góc phần tư II) nên x < 0.

y < 0 ứng vớ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành và ở bên phải trục tung (góc phần tư thứ IV) nên a > 0.

5. Dạng 5: Kiểm tra điểm M(x₀; y₀) có thuộc đồ thị hàm số hay không

Phương pháp giải:

Điểm M(x₀; y₀) thuộc đồ thị hàm số nếu ta thay giá trị của x₀ và y₀ vào hàm số ta được đẳng thức đúng. Ngược lại nếu đẳng thức sai thì điểm M không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Ví dụ: 

Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = – 3x. :

Giải.

6. Dạng 6: Tìm hệ số a của đồ thị hàm số y = a.x, biết đồ thị đi qua một điểm

Phương pháp giải:

Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.

Ví dụ: Tìm điểm M(x₁; y₁) trên đt: 2x + 3y= 5 sao cho khoảng cách từ O đến M là nhỏ nhất.

Gợi ý:

$\left(d\right):2x+3y=5$

$\to y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Gọi $\left(d^{\prime }\right)$là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và vuông góc với $\left(d\right)$

$\to \left(d^{\prime }\right):y=\frac{3}{2}x$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $\left(d\right)$ và $\left(d^{\prime }\right)$

$-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=\frac{3}{2}x$

$\to 2(-2x+5)=9x$

$\to 13x=10$

$\to x=\frac{10}{13}$

$\to y=\frac{15}{13}$

$OM$ ngắn nhất $\iff M$ là hình chiếu của $O$ lên $\left(d\right)$

$\to M$là giao điểm giữa $\left(d\right)$ và $\left(d^{\prime }\right)$

$\to M\left(\frac{\mathrm{10/}}{13};\frac{\mathrm{15/}}{13}\right)$

$7.\; Dạng\; 7:\; Đọc\; đồ\; thị\; cho\; trước$

Dạng 5. “ĐỌC” MỘT ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC

Phương pháp giải.

• Hiểu rõ ý nghĩa của đồ thị, ý nghĩa của các đơn vị biểu diễn trên trục tung và trục hoành.
• Biết xác định hoành độ (hoặc tung độ) của một điểm trên đồ thị biết tung độ (hoặc hoành độ) của điểm đó.

Ví dụ:

Trong hình 27 (SGK): Đoạn thẳng OA là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi bộ và đoạn thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi   xe đạp. Qua đồ thị em hãy cho biết: 

a) Thời gian chuyển động của người đi bộ, của người đi xe đạp.

b) Quãng đường đi được của người đi bộ, của người đi xe đạp.

c) Vận tốc (km/h) của người đi bộ, của người đi xe đạp.

Hướng dẫn.

Khi “đọc” đồ thị này cần hiểu rõ:

– Trục hoành biểu thị thời gian bằng giờ; trục tung biểu thị quãng đường đi được với đơn vị ứng với 10km.

– Đoạn đường OA là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi bộ; đoạn thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi xe đạp.

Trả lời:

a) Thời gian chuyển động của người đi bôn là 4 giờ, của người đi xe đạp là 2 giờ.

b) Quãng đường đi được của người đi bộ là 20km, của người đi xe đ

$III.\; BÀI\; TẬP\; VỀ\; HÀM\; SỐ\; VÀ\; ĐỒ\; THỊ\; HÀM\; SỐ\; LỚP\; 7$

1. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số song song với đt y = 3x + 1 và đi qua A (2; 5).

b) Đồ thị của hàm số vuông góc với đt y = x – 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng -2.

c) Đồ thị hàm số đi qua A (-1; 2) và B (2; -3).

d) Đồ thị hàm số cắt (P): y = x² tại 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2.

2. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến; Tìm m để hàm số luôn nghịch biến.

b) Tìm m để đồ thị hàm số // với đt: y = 3x –3 + m;

c) Tìm m để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x –3 + m.

d) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ = 3.

e) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ = 3.

f) Tìm m để đồ thị các hàm số y = -x + 2; y = 2x – 1; y = (m – 2)x + m + 3 đồng quy.

a) Tìm m để d₁ cắt d₂ tại điểm C trên trục tung.

b) Với m vừa tìm được tìm giao điểm A, B của 2 đường thẳng d₁, d₂ với Ox.

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

d) Tính các góc của tam giác ABC.

4. Tìm m để đt: y = mx + 1 cắt đt: y = 2x –1 tại 1 điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ 2.

5. Cho (P): y = (2m – 1)x². Tìm m để (P) đi qua A(2; -2). Với m vừa tìm được viết PT đt qua O(0; 0) và qua điểm T thuộc (P) có tung độ bằng -1/16.

6. Cho (P): y = x²/2 và (d): mx + y = 2. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.

7. Cho (P): y = x² và đường thẳng: y = mx – m (d)

a) Tìm m để d tiếp xúc với (P).

b) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.

8. Cho (P): y = x²+ 1 và (d): y = 2x + 3.

a) Vẽ (P) và (d).

b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d).

c) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên Ox. Tính diện tích tứ giác ABCD.

9. Cho (P): y = x².

a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ Oxy.

b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Viết PT AB.

c) Tính diện tích tứ giác có đỉnh là A, B và các điểm là 2 hình chiếu của A và B trên Ox.

10. Cho (P): y = 2x².

a) Vẽ (P).

b) Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx – 1 với (P).

c) Lập PT đt song song với đt: y = 2x + 2010 và tiếp xúc với (P).

d) Tìm trên (P) điểm cách đều 2 trục tọa độ.

11. Cho  Đường thẳng d qua I với hệ số góc m.

a) Viêt pt cua đương thăng d

b) Chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.

12. Cho (P): y = x² và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua M(0; 1).

a) Viết pt đường thẳng (d)

b) Chứng minh với mọi k đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.

c) Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x₁, x₂. Chứng minh 

13. Cho hàm số y = -x² và đường thẳng (d) đi qua N(-1; -2) có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (d)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điệm A, B. Tìm k để A, B nằm về 2 phía của trục tung.

c) Gọi . Tìm k để  đạt giá trị lớn nhất.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu về chuyên đề hàm số và đồ thị hàm số y = a.x cùng các dạng toán thường gặp. Hi vọng, bài viết hữu ích với bạn. Hãy chia sẻ thêm chuyên đề hàm số được chúng tôi giới thiệu kĩ càng hơn ở đường link này nhé.

Giáo dục