Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp

Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp

Phép đối xứng trục là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình Hình học 11. Bài viết hôm nay, sẽ giới thiệu chi tiết về chuyên đề này: từ phần lý thuyết đến phương pháp giải các dạng toán thường gặp của phép đối xứng trục. Các bạn chia sẻ nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét

    Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đ_d(M) ⇔ M₀M’→ = – M₀M→.

    M’ = Đ_d(M) ⇔ M = Đ_d(M’)

2. Biểu thức toạ độ

    Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Ox[M(x,y)] thì

        

    Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Oy[M(x,y)] thì

        

3. Tính chất

Tính chất 1

    Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Dạng 1: Dùng phép đối xứng trục để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải: 

– Dựng điểm M: Tìm một hình (H) cố định và đường thẳng d cố định cho trước sao cho khi thực hiện phép đối xứng trục d ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng 

– Thực hiện các phép đối xứng trục d để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng

Ví dụ 1: Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d₁ và hai đỉnh B, D lần lượt thuộc hai đường thẳng d₂,d₃ 

Lời giải

– Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa điều kiện của bài toán

Do  và AC là trục đối xứng của hình vuông ABCD 

Mặt khác B ∈ d₂ nên D ∈ d^‘₂ trong đó d^‘₂ là đường thẳng đối xứng với d₂ qua  

Suy ra: D = d^‘₂ ∩ d₃  

– Cách dựng:

Dựng d^‘₂ = D_d1(d₂), gọi D = d₃ ∩ d^‘₂ 

Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d₁ tại O và cắt d₂ tại B

Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt  tại A, C (A, C theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD)

– Nhận xét:

TH1: d₂ cắt d₃ khi đó:

Nếu d^‘₂ ∩ d₃ thì bài toán có 1 nghiệm hình

Nếu d^‘₂ // d₃ thì bài toán có vô nghiệm hình

TH2: d₂ // d₃. Khi đó

Nếu d₁ song song và cách đều d₂ và d₃ thì bài toán có vô số nghiệm hình

Nếu d₁ hợp với d₂ và d₃ một góc 45 thì bài toán có 1 nghiệm hình

Nếu d₁ song song và không cách đều d₂, d₃ hoặc d₁ không hợp với d₂, d₃ một góc 45 thì bài toán vô nghiệm hình

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (C), (C′) có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C), (C′) và hai đỉnh còn lại nằm trên d

Lời giải

– Dựng đường tròn (C₁) là ảnh của (C) qua D_d 

– Gọi C là giao điểm của (C₁) và (C’) 

– Dựng điểm A đối xứng với C qua d

– Gọi I = AC ∩ d 

Lấy trên d hai điểm B, D sao cho: IB = ID = IA

Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (C₁) và (C’)

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục

Phương pháp giải: Để xác định ảnh (H′) của hình (H) qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:

– Dùng định nghĩa phép đối xứng trục

– Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ Ox, Oy

– Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho A (1; -2) và B (3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Lời giải

A’ là ảnh của A qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ là A’ (1; 2)

B’ là ảnh của B qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ là B’ (3; -1)

Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng qua trục Ox chính là đường thẳng A’B’ nên đường thẳng A’B’ có phương trình: 

 

=> 3x + 2y – 7 = 0 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy có đường thẳng d có phương trình: 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy

Lời giải

Gọi M (x; y) tùy ý thuộc d 

Suy ra: 3x – y + 2 = 0   (1)

  

Thay vào (1) được: 3(-x^‘) – y^‘ + 2 = 0 ⇔ 3x^‘ + y^‘ – 2 = 0 

Vậy tọa độ M’ thỏa mãn phương trình d’: 3x + y – 2 = 0

Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giải các bài tập hợp điểm 

Phương pháp giải: 

– Tìm quỹ tích điểm M: Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận đường thẳng d cố định làm trục đối xứng

– Xác định hình (H) là quỹ tích của E

– Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép đối xứng trục d                         

Ví dụ 1: Cho A, B, C thuộc đường thẳng xx’ (B nằm giữa A và C). Một đường thẳng yy^‘ ⊥ xx^‘ tại C. Qua điểm A dựng đường thẳng di động Δ cắt yy’ tại M. Qua B dựng đường vuông góc với Δ cắt yy’ tại N. Chứng minh khi Δ quay quanh A thì đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN còn đi qua một điểm cố định thứ hai

Lời giải

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN:

BN ⊥ AM 

AC ⊥ MN

Nên suy ra B là trực tâm của tam giác AMN

Gọi B’ là giao điểm của xx’ và đường tròn (C)

Dễ chứng minh được yy’ là trục đối xứng của BB’

Do đó B thuộc đường tròn (C^‘) = D_yy’ [(C)]

Vậy B^‘ ∈ (C) = D_yy’ [(C^‘)] 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định Δ Biết rằng trực tâm H của tam giác cố định và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định P khác H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm O

Lời giải

Gọi H^‘ = D_Δ(H) 

Suy ra H’ cố định và thuộc đường tròn (O)

Do đó O cách đều hai điểm cố định P và H’

Suy ra O thuộc đường trung trực PH’

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Xét 2 phép đối xứng trục Đa và Đb:

Khẳng định nào sau đây không sai?

A. A, B, C đường tròn (O, R =OC)

B. Tứ giác OABC nội tiếp

C. DABC cân ở B

D. DABC vuông ở B.

Đáp án: A

Bài 2. Gọi d là phân giác trong tại A của DABC, B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ_d. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu AB < AC thì B’ thì B’ ở trên cạnh AC

B. B’ là trung điểm cạnh AC

C. Nếu AB = AC thì B ≡ C

D. Nếu B’ là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB

Đáp án: B

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3; 2), đường thẳng (D): x + 3y – 8 = 0, đường tròn (C ): (x + 3)² + (y + 2)² = 4. Tìm ảnh của M, (D) và (C) qua phép đối xứng trục (a): x – 2y + 2 = 0

Đáp án:

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng (D): 3x + 2y – 6 = 0, đường tròn (C ): (x + 1)² + (y -2)² = 9. Tìm ảnh của M, (D) và (C) qua phép đối xứng trục (a): 2x – y + 1 = 0

Đáp án

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (a): 2x – y – 3 = 0, (D): x – 3y + 11 = 0, (C) x² + y² – 10x – 4y + 27 = 0

a . Viết biểu thức giải thích của phép đối xứng trục Đ_a.

b. Tìm ảnh của điểm M(4; -1) qua Đ_a.

c. Tìm ảnh: (D’) = Đ_a(D), (C’) = Đ_a(C).

Đáp án:

Bài 6. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O), điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp của phép đối xứng trục. Hi vọng, chúng tôi đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu thiết yếu, giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm phép đối xứng tâm bạn nhé !