Phép quay là gì? Phương pháp giải các dạng toán của phép quay

Phép quay là gì? Phương pháp giải các dạng toán của phép quay

Phép quay là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình Hình học 11 có nhiều trong các đề thi quan trọng. Nhằm giúp các bạn nắm chắc hơn về chuyên đề phép quay và phương pháp giải các dạng toán thường gặp của phép quay, đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP QUAY

1. Phép quay là gì?

Bạn đang xem: Phép quay là gì? Phương pháp giải các dạng toán của phép quay

• Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm A thành điểm A’ sao cho OA = OA’ và góc lượng giác (OA, OA’) =  được gọi là phép quay tâm O góc .

Trong đó: O là tâm quay,  là góc quay. Phép quay được kí hiệu là: 

• Nếu  là phép đối xứng tâm.
• Nếu  là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép quay

• Phép quay là phép biến hình nên nó có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
• Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
• Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

_{Ta có:}  khi đó:

• : góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’ là 
• góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng 

3. Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CỦA PHÉP QUAY

Dạng 1: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q(I;α) nào đó. Để tìm tập hợp điểm M′ ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q(I;α) nào đó biến điểm M thành điểm M′, khi đó nếu M ∈ (H) thì M‘ ∈ (H’)= Q(I;α)((H))

Ví dụ: Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích các điểm B, C khi A di động trên a

Lời giải

Do tam giác ABC đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay biến A thành B hoặc C và phép quay tâm G góc quay 240⁰ biến A thành B hoặc C

Mà A∈ a nên B, C thuộc các đường thẳng là ảnh của a trong hai phép quay nói trên

Vậy quỹ tích các điểm B, C là các đường thẳng ảnh của a trong hai phép quay tâm G góc quay 120⁰ và 240⁰

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua phép quay
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa phép quay, biểu thức tọa độ của phép quay và các tính chất của phép quay 90⁰

Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2; 0) và đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0. Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰

a. Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q
b. Tìm ảnh của d qua phép quay Q

Lời giải

a. Ta có vì M(2;0)∈ Qx ⇒ Q(0;90⁰) (M)= M’⇒ M/(0;2)

b. Ta có M(2;0) ∈ d , ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’ (0; 2)

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d

Đường thẳng d có VTPT là n^→ = (1;2) suy ra d’ có VTPT là n’^→ = (2;-1)

Vậy phương trình của d’ là: 2(x-0)- 1(y-2)=0 

Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay  Q(I;α) nào đó

Ví dụ : Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải

Nếu xem B là ảnh của A qua phép quay tâm C góc quay 60° thì B sẽ là giao của đường thẳng b với đường thẳng a’ là ảnh của a qua phép quay nói trên

Số nghiệm của bài toán là số giao điểm của đường thẳng b với đường thẳng a’

Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải các bài toán hình học phẳng

Ví dụ : Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân

Lời giải

Xét phép quay Q tâm O góc quay 90⁰ , ta có:

ΔOBB=Q90^{0 (Δ OAA’)=G’=Q900(G)}

⇒ Góc GOG’= 90⁰

Vậy, ta được tam giác GOG’ là tam giác vuông cân

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I là trung điểm của cạnh BCE

a. Chứng minh rằng AE = CD

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và CD. Chứng minh rằng tam giác BIJ là một tam giác đều

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A (3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90⁰

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc90⁰

Bài 5: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D

b. Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ

Bài 6: Dựng tam giác đều biết ba đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B (-3; 6). Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay 90⁰

Bài 8: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay 0< α ≤ 2π biến hình vuông trên thành chính nó?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 0) và điểm N (0; 2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là bao nhiêu?
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (3; 0). Tìm tọa độ ảnh A¢ của điểm A qua phép quay Q90⁰

Vậy là các bạn vừa được chia sẻ chuyên đề về phép quay và các dạng toán thường gặp của phép quay. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề về phép đối xứng trục nữa bạn nhé !