Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Nguyên hàm tích phân là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 12 xuất hiện nhiều trong các đề thi. Nhằm giúp các em nắm vững hơn phần kiến thức này, đã chia sẻ phương pháp tích phân từng phần hay nhất và nhiều dạng bài tập vận dụng. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Tích phân từng phần là gì?

Bạn đang xem: Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu $u$ = $u (x)$ và $du$ = $u'(x) dx$ , trong đó $v$ = $v (x)$ và $dv$ = $v'(x) dx$ , thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

{displaystyle {displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}u(x)v'(x),dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-int _{a}^{b}u'(x)v(x),dxend{aligned}}}}

hay gọn hơn:

{displaystyle int u,dv=uv-int v,du.!}

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

2. Định lý

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

{displaystyle {frac {d}{dx}}{Big (}u(x)v(x){Big )}=v(x){frac {d}{dx}}left(u(x)right)+u(x){frac {d}{dx}}left(v(x)right).!}

Tích phân cả hai vế đối với x,

{displaystyle int {frac {d}{dx}}left(u(x)v(x)right),dx=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

{displaystyle u(x)v(x)=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}

{displaystyle int u(x)v'(x),dx=u(x)v(x)-int u'(x)v(x),dx}

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

{displaystyle du=u'(x)dxquad dv=v'(x)dx}

{displaystyle int u(x),dv=u(x)v(x)-int v(x),du}

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

II. CÔNG THỨC, CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Các bước tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}$ .

+ Bước 2: Đặt $left{ begin{array}{l}u=f(x)dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dxv=int{g(x)dx}end{array} right.$ (chọn $v$ là một nguyên hàm của $g(x)$ ).

+ Bước 3: Khi đó $I=int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-int_{a}^{b}{vdu}$ .

Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Ví dụ:

Cho $int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5$ và $f(0)=1$ . Tính $I=int_{0}^{2}{f(x)dx}$ .

A. $I=3$ . B. $I=-3$ . C. $I=-7$ . D. $I=7$ .

Lời giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u=x-2dv=f'(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dxv=f(x)end{array} right.$ .

Ta có $5=int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-int_{0}^{2}{f(x)dx}$ $=2f(1)-I=2-IRightarrow I=-3$ .

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài 1: Tính tích phân sau:

Hướng dẫn:

Trên đây đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn học sinh phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết ! Xem thêm công thức tính tích phân nữa bạn nhé !

Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc thcs-thptlongphu. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Tác giả: https://thcs-thptlongphu.edu.vn – Trường Lê Hồng Phong

Nguồn: https://thcs-thptlongphu.edu.vn/phuong-phap-tich-phan-tung-phan-hay-nhat-va-bai-tap-van-dung/