Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Bài viết hôm nay, sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Đây là phần kiến thức Hinh học phổ thông vô cùng quan trọng, liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp. Các em tìm hiểu để củng cố thêm phần kiến thức nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Phương trình bậc hai một ẩn là là gì?

Bạn đang xem: Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Cho phương trình sau: ax²+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b²-4ac.Khi đó:

• Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’²-ac, tương tự như trên:

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

2. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax²+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x₁ và x₂, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x₁ và x₂

• x₁+x₂=-b/a
• x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(b²-2ac)/a²
• 
• …

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x₁+x₂) và x₁x₂ để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x₁ và x₂ thỏa mãn: x₁+x₂=S, x₁x₂=P thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Luy ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn:

ax² + bx + c = 0

Nếu b = 0, ta có ax² + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b.

Nếu c = 0, ta có ax² + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c.

1. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta giải theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Biến đổi thành phương trình dạng a(x+m)² = n.

Phương pháp 2: Biến đổi thành phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b

ax² + c = 0 (a ≠ 0)

Ta được x² = -c/a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √-ca

Nếu -ca < 0 thì phương trình vô nghiệm

3. Cách giải phương trình khuyết c

ax² + bx = 0 (a ≠ 0)

Ta biến đổi thành: x(a + b) = 0<=> x = 0 và ax = -b  <=> x=0 và x=−b/a

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b/a

III. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số

a. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx²-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
• Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
• Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b. Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

 

Khi đó, gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

2. Dạng 2: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x²-3x+2=0
2. x²+x-6=0

Hướng dẫn:

1. Δ=(-3)²-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

suy ra phương trình có nghiệm là x₁=1 và x₂=2/1=2

1. Δ=1²-4.(-6)=25. Vậy

 

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

a. Phương trình khuyết hạng tử

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax²+c=0 (1).

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, nghiệm là:

Nếu -c/a=0, nghiệm x=0

• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax²+bx=0 (2). Phương pháp:

• 

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

1. x²-4=0
2. x²-3x=0

Hướng dẫn:

1. x²-4=0 ⇔ x²=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x²-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

b. Phương trình đưa về dạng bậc 2

Phương trình trùng phương: ax⁴+bx²+c=0 (a≠0):

• Đặt t=x² (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at²+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
• Quy đồng khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x² (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x²+x, t=x²-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4x⁴-3x²-1=0
2. 

Hướng dẫn:

1. Đặt t=x² (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t²-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 ⇔ x²=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

1. Ta có:

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng tại đường link này nữa nhé !

Giáo dục