Tích phân là gì? Phương pháp tính tích phân và các dạng toán

Tích phân là gì? Phương pháp tính tích phân và các dạng toán

Khái niệm tích phân cũng như phương pháp tính tích phân là chương trình Toán 12 vô cùng quan trọng có trong các đề thi quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học, đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN

1. Tích phân là gì?

Bạn đang xem: Tích phân là gì? Phương pháp tính tích phân và các dạng toán

Tích phân có 2 định nghĩa tương đương nhau. Đó là định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz và định nghĩa theo giới hạn. Phần định nghĩa theo giới hạn chúng ta sẽ không đề cập ở đây. Các em có thể đọc thêm trong sách giáo khoa.

Định nghĩa tích phân theo công thức Newton-Leibniz “có vẻ” hình thức nhưng dễ vận dụng vào bài tập hơn. Cụ thể:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm nào đó của hàm số y=f(x) trên [a;b]. Khi đó:

2. Tính chất và công thức tính của tích phân

Cho các hàm số là f(x), g(x) liên tục trên K. Trong đó a,b,c là những số thuộc K. Khi đó tính chất của tích phân và công thức của tích phân sẽ được biểu thị qua bảng sau:

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp phân tích

Với phương pháp này bạn có thể sử dụng các đồng nhất các công thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân trở thành tổng của các hạng tử.

2. Phương pháp biến đổi số

Phương pháp này có 2 dạng và mỗi dạng là một cách tính khác nhau. Cụ thể:

3. Phương pháp vi phân

4. Phương pháp tính của tích phân từng phần

III. CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP

Bài 1:

Tính tích phân sau:

Lời giải:

Ta nhận thấy mẫu số đạo hàm được tử số. Đây là dấu hiệu của phương pháp đổi biến. Áp dụng công thức đổi biến ta có:

Bài 2:

Tính tích phân sau:

Lời giải:

Vì nguyên hàm của sinx là −cosx nên:

Bài 3:

Tính tích phân

Lời giải:

Chhúng ta đặt u(x) theo thứ tự ưu tiên: ” Nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ”.

Bài 4:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)

b. f(x)= sin(4x).cos²(2x)

c. 

d. f(x) = (e^x – 1)³

 

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x³ – 11x² + 6x – 1

Suy ra

b. Ta có:

Suy ra:

c. Ta có:

Suy ra:

d. Đối với bài này, bạn đọc có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm. 

Đặt t=e^x

Suy ra:  dt=e^xdx=tdx, vì vậy 

Ta sẽ có:

Với C’=C-1

Bài 5:

Tính một số nguyên hàm sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 6:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:

Tính tổng P=a+b?

Hướng dẫn giải:

Bài này là sự kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu (đa thức)x(hàm logarit). Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.

Ta có:

Bài 7:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(3)=3, tích phân: . Hãy tính: 

Hướng dẫn giải:

Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:

Lại có:

Bài 8:

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

 

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

b. Tính chất của tích phân:

Trên đây, chúng tôi đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn khái niệm tích phân cũng như phương pháp tính tích phân và các dạng toán thường gặp. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn đã nắm chắc hơn mảng kiến thức Toán 12 vô cùng quan trọng này. Xem thêm phương pháp xác định nguyên hàm nữa bạn nhé !

Giáo dục