Bất đẳng thức và các ứng dụng
I. Khái niệm bất đẳng thức cơ bản
1.1 Số thức dương, số thực âm
Nếu a là số thực dương, ta kí hiệu a>0
Nếu a là số thực âm, ta kí hiệu a
Bạn đang xem: Công thức bất đẳng thức
Nếu a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm, kí hiệu a≥0a≥0
Nếu a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương, kí hiệu a≤0a≤0
Chú ý: Với hai số thực a, b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra:
a>b hoặc a
Phủ định của mệnh đề a>0 là a≤0a≤0
Phủ định của mệnh đề a
![bdt-1](http://thcs-thptlongphu.edu.vn/wp-content/uploads/2023/03/bdt-1.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-2.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-3.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-4.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-5.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-6.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-7.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-8.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-9.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-10.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-11.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-12.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-13.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-14.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-15.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-16.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-17.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-18.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-19.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-20.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-21.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-22.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-23.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-24.jpg)
Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng (a−b)2≥0
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-25.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-26.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-27.jpg)
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Côsi)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-28.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-29.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-30.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-31.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-32.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-33.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-34.jpg)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-35.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-36.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-37.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-38.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-40.jpg)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-41.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-42.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-43.jpg)
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-44.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-45.jpg)
Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh rằng:
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-46.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-47.jpg)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Ôn tập về Bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
– Các mệnh đề dạng “ab” được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
– Nếu mệnh đề “a
– Nếu bất đẳng thức a
3. Tính chất của bất đẳng thức
° Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số:
a
° Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số:
– Với c>0: a
– Với c bc
° Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a
° Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
– Với a>0, c>0: a
° Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa
– Với n ∈ N*: a2n+1 2n+1
– Với n ∈ N* và a>0: a2n 2n
° Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-48.jpg)
2. Các hệ quả của Bất đẳng thứ Cô-si
° Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-49.jpg)
Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất bất đẳng thức trị tuyệt đối như sau
° |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x
° Với a>0:
|x| ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a
° |a| – |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Bài tập vận dụng Bất đẳng thức
* Bài 1 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?
a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x
c) 8x2 > 4x2 ; d) 8 + x > 4 + x
* Lời giải:
– Đáp án đúng: d) 8 + x > 4 + x
– Vì 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số). Nên khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.
+ Các đáp án khác sai vì:
a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0
– Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x
b) Ta có: 4 8x thì x
– Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x
c) chỉ đúng khi x ≠ 0
Bài 2 trang 79 SGK Đại Số 10: Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.
* Lời giải:
– Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: – 1
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-50.jpg)
→ Vậy ta có C
* Bài 3 trang 79 SGK Đại Số 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
1) Chứng minh (b – c)2 2
2) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2
* Lời giải:
1) (b – c)2 2
– Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
– Ta có: (b – c)2 – a2 = (b – c – a)(b – c + a)
Do b c ⇒ b + a – c > 0.
Suy ra: (b – c – a)(b – c + a) 2 – a2 2 2
2) Từ kết quả câu 1) ta có
a2 > (b – c)2
b2 > (a – c)2
c2 > (a – b)2
– Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2
⇒ a2 + b2 + c2 > b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2
⇒ a2 + b2 + c2 > 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca)
⇒ a2 + b2 + c2
Bài 4 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng: x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0
* Lời giải:
Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0
Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2
⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.
* Bài 5 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng:
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-51.jpg)
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-52.jpg)
+ Xét 0 ≤ t 3 3 > 0 ; 1 – t > 0
t8 – t5 + t2 – t + 1 = t8 + (t2 – t5) + (1 – t) = t8 + t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0
(vì t8 ≥ 0; t2 ≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)
+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3 ≥ 1 ⇒ t3 – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.
t8 – t5 + t2 – t + 1 = t5.(t3 – 1) + t.(t – 1) + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0
Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-53.jpg)
Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
![](http://thptsoctrang.edu.vn/wp-content/uploads/2021/10/bdt-54.jpg)
Lời giải:
– Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
MA + MB ≥ 2√MA.MB = 2. √1 = 2
Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.
Khi đó OA = √(MA2 + MO2) = √2 ; OB = √(OM2 + MB2) = √2.
Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên A(√2; 0); B(0; √2)
Vậy tọa độ là A(√2, 0) và B(0, √2).
Đăng bởi: Thcs-thptlongphu.edu.vn
Chuyên mục: Tổng hợp