Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình nhanh nhất và bài tập

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình nhanh nhất và bài tập

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình học sinh đã được tim hiểu trong chương trình Toán 8, phân môn Đại số. Đây là phần kiến thức trọng tâm của chương trình và được tiếp tục nghiên cứu ở những lớp học cao hơn. Bài viết hôm nay, sẽ hệ thống lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này cùng nhiều dạng bài tập vận dụng. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1. Ví dụ 1:

Bạn đang xem: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình nhanh nhất và bài tập

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu.

Hướng dẫn:

Gọi x là tử số của phân số ( )

Vì mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là (3) đơn vị nên mẫu số của phân số là x + 3.

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì ta được phân số lúc sau là 

Vì phân số mới bằng  nên ta có phương trình :

Mẫu số của phân số cần tìm là: x+3=1+3=4

Vậy phân số lúc đầu là: 

Ví dụ 2

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng  số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn:

Gọi x là số học sinh cả lớp 8A (điều kiện x nguyên dương)

Số học sinh giỏi trong học kì I là:  (học sinh)

Số học sinh giỏi trong học kì II là:  (học sinh)

Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng  số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:

Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh.

2. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Từ ví dụ trên ta có thể suy ra được phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình như sau:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Bước 1: Lập phương trình

– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Một số lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn:

+ Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó

+ Nếu x biểu thị là một chữ số thì 

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x mang giá trị nguyên dương

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thi x > 0

II. BÀI TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1. Bài tập có đáp án:

Bài 1: Một khu đất hình chữ nhật với hai kích thước hơn kém nhau 4m, biết diện tích của khu đất đó bằng 1200 (m²). Hãy tính chu vi của khu đất đó?

GIẢI

Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m), (điều kiện: x > 0).

Thì chiều dài khu đất hình chữ nhật là x + 4 (m).

Vì diện tích hình chữ nhật là 1200m². Ta có phương trình sau:

x(x + 4) = 1200

⇔ x² + 4x – 1200 = 0

⇔ x₁ = 30  (nhận). x₂ = – 34 (loại).

Chiều rộng hình chữ nhật là 30 (m).

Chiều dài hình chữ nhật là 30 + 4 = 34 (m).

Vậy chu vi của khu đất hình chữ nhật là: (34 + 30)2 = 128 (m).

Bài 2: (Bài toán cổ Việt Nam).

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có mấy gà, mấy chó? (Đại số 8)

GIẢI

Gọi số gà là x (con), (điều kiện: x nguyên dương).

Số chó là 36 – x  (con).

Số chân gà là 2x (chân).

Số chân chó là 4(36 – x) (chân).

Theo đề bài ta có phương trình: 2x + 4(36 – x) = 100 x = 22 (TMĐK).

Vậy số gà là 22 (con), số chó là 36 – 22 = 14 (con).

Bài 3: Một tam giác có chiều cao bằng 34 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm². Tính chiều cao và cạnh đáy? (Đại số 8).

GIẢI

Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao: S=12 cạnh đáy x chiều cao.

Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm), (điều kiện: x > 0).

Thì chiều cao là 3/4x (dm).

Diện tích lúc đầu là : 1/2⋅x⋅3/4x (dm²).

Diện tích lúc sau là: 1/2(x−2)(3/4x+3) (dm²).

Theo đề bài ta có phương trình sau: 1/2(x−2)(3/4x+3)−1/2x⋅3/4x=12

⇔ 3/4x=15

⇔ 3x = 60

⇔ x = 20 (TMĐK)

Vậy cạnh đáy có độ dài là 20 (dm).

Chiều cao có độ dài là 3/4⋅20=15 (dm).

Bài 4: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. (Đại số 9)

Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức. Cho ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC (H ∈ BC), ta có: AH² = BH.CH.

GIẢI

Gọi độ dài cạnh BH là:  x (m) (điều kiện: x > 0).

Độ dài cạnh CH là:  x + 5,6 (m).

Theo đề bài ta có phương trình:  x(x + 5,6) = 9,6² ⇔ x = 7,2 (TMĐK).

Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).

Bài 5:

Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.

GIẢI

Gọi x (km) là quãng đường AB (x > 0).

Thời gian chuyển động từ A đến B của xe máy:

9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3 giờ 30 phút  (giờ)

Vận tốc của xe máy là:  (km/h)

Ô tô xuất phát sau xe máy 1 giờ và đến B cùng lúc với xe máy 9 giờ 30 phút nên thời gian chuyển động từ A đến B của ô tô là:  (giờ)

Vận tốc của ô tô là:  (km/h)

Vì vận tốc của ô tô hơn xe máy 20km/h nên ta có phương trình:

⇔ 14x – 10x = 700

⇔ 4x = 700

⇔ x = 175 (thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài 175 km.

Vận tốc trung bình của xe máy:  (km/h).

2. Bài luyện tập thêm:

Bài 1: Hai người làm chung công việc trong 4 ngày thì xong. Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày, người kia đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào cùng 1 bể thì 3 giờ 20 phút đầy bể. Người ta cho vòi 1 chảy trong 3 giờ và vòi 2 chảy trong 2 giờ thì được 4/5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy 1 mình chảy đầy bể?

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 4 m và giảm chiều dài thêm 4m thì diện tích tăng 8m vuông. Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn?

Bài 4: Số học sinh khá của khối 8 bằng 5/2 số học học sinh giỏi. Nếu thêm số học sinh giỏi 10 bạn và số học sinh khá giảm đi 6 bạn, vì vậy số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi. Tính số học sinh giỏi khối 8?

Bài 5: Năm nay , tuổi của anh gấp 3 lần tuổi của em . Sau 6 năm nữa tuổi của anh chỉ gấp đôi tuổi của em . Hỏi năm nay tuổi của anh và em là bao nhiêu tuổi?

Bài 6: Sau khi nhận kế hoạch của xí nghiệp ; một tổ sản xuất dự định mỗi ngày sản xuất 30 sản phẩm, nhưng khi thực hiện mỗi ngày tổ sản xuất dược 40 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày và sản xuất thêm được 40 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Bài 7: Một số có 2 chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được chữ số mới nhỏ hơn chữ số cũ 18 đơn vị . Tìm số ban đầu?

Bài 8: Một số có 2 chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được chữ số mới lớn hơn chữ số cũ 54 đơn vị. Tìm số ban đầu?

Bài 9: Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số 11 đơn vị. Nếu tăng tử số thêm 3 đơn vị và giảm mẫu số 4 đơn vị thì giá trị phân số mới là 3/4 . Tìm phân số đã cho?

Bài 10: Lúc 7 giờ sáng một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11giờ30 phút. Tính vận tốc của canô khi đi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc của dòng nước là 6 km/h?

Trên đây các bạn đã được tìm hiểu về chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình từ phương pháp giải đến các dạng bài tập. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn đã nắm chắc hơn phần kiến thức Đại số 8 vô cùng quan trọng này. Xem thêm cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nữa bạn nhé !

Giáo dục