Quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toan 8, phân môn Đại số. Nhằm giúp học sinh nắm vững hơn phần kiến thức Đại số vô cùng quan trọng này cùng nhiều dạng bài tập vận dụng khác, đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1. Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Bạn đang xem: Quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn

a) Quy tắc chuyển vế.

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số.

– Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

– Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

II. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn

a) Quy tắc chuyển vế.

Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1:

Giải các phương trình sau:

a) 3x – 2 = 2x – 3

b) 7 – 2x = 22 – 3x

c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

d) 2( x + 3 ) = 2( x – 4 ) + 14

e) 2x – 1 + 2(2 – x) = 1

* Lời giải:

a) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = -3 + 2 ⇔ x = -1;

Phương trình có tập nghiệp S = {-1}.

b) 7 – 2x = 22 – 3x ⇔ -2x + 3x = 22 – 7 ⇔ x = 15 ;

Phương trình có tập nghiệp S = {15}.

c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 ⇔ x + 4x – 2x = 25 – 1 +12 ⇔ 3x = 36 ⇔ x =12 ;

Phương trình có tập nghiệp S = {12}.

d) 2( x + 3 ) = 2( x – 4 ) + 14 ⇔ 2x – 2x = -8 + 14 – 6 ⇔ 0x = 0

Phương trình có vô số nghiệm: S = R

e) 2x – 1 + 2(2 – x) = 1 ⇔ 2x – 1 + 4 – 2x = 1 ⇔ 2x – 2x = 1 + 1 – 4 ⇔ 0x = -2

Phương trình vô nghiệm: S = Ø

Bài 2: Giải biện luận phương trình: 2(mx + 5) + 5 (x + m) = m (*)

° Hướng dẫn giải:

– Đây là dạng phương trình có chứa tham số, cách giải như sau:

Thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp:

Trường hợp a ≠ 0: phương trình có một nghiệm x = -b/a.

_ Trường hợp a = 0, ta xét tiếp:

+ Nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

+ Nếu b = 0, PT vô số nghiệm

– PT (*) ⇔ 2mx + 10 + 5x + 5m = m

⇔ (2m + 5)x = m – 5m -10

⇔ (2m + 5)x = -2(2m +5 )

– Biện luận:

+ Nếu 2m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ -5/2 ⇒ phương trình có nghiệm x = -2;

+ Nếu 2m + 5 = 0 ⇔ m = -5/2 ⇒ phương trình có dạng 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.

– Kết luận:

Với m ≠ -5/2 phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

Với m = -5/2 phương trình có tập nghiệp là S = R.

Bài 3:

Giải các phương trình sau:

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

b) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

* Lời giải:

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

⇔ 3x = 2 hoặc 4x  = -5

⇔ x = 3/2 hoặc x  = -5/4

Vậy tập nghiệp là S = {3/2; -5/4}

b) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(2x + 5) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

⇔ x = 3 hoặc 2x = -5

⇔ x = 3 hoặc x = -5/2

Vậy tập nghiệp là S = {3; -5/2}

Bài 4: 

Giải các phương trình sau:

a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1)   (*)

b)     (**)

* Lời giải:

a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1)

– ĐKXĐ của PT: x ≠ 0 và 5x-1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 1/5;

PT (*) ⇔

⇔ (5x – 1)(x + 3) = x(5x – 3)

⇔ 5×2 + 14x – 3 = 5×2 + 3x

⇔ 5×2 + 14x – 5×2 – 3x = 3

⇔ 11x = 3 ⇔ x = 3/11 (thoả mã ĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3/11}.

b) 

– ĐKXĐ của PT: x – 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 và x ≠ -1

Quy đồng và khử mẫu ta được:

PT  (**)

⇔ (x + 1)2 – (x – 1)2 = 3x(x – 1)(x+1 – x + 1)

⇔  x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 = 6x(x – 1)

⇔  4x = 6×2 – 6x

⇔ 6×2 – 10x = 0

⇔ 2x(3x – 5) = 0

⇔ 2x = 0 hoặc 3x – 5 = 0

⇔  x = 0 hoặc x = 5/3 (thoả ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệp S = {0; 5/3}.

Bài 5: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được phân số 1/2. Tìm phân số đã cho.

* Lời giải: Gọi tử của phân số đã cho là x (x ≠ 0) thì mẫu của phân số đó là x + 3

Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2

Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5

Theo bài ra ta có phương trình:  (ĐKXĐ: x ≠ -5)

⇒ 2( x + 2 ) = x + 5

⇔ 2x – x = 5 – 4

⇔ x = 1 (thảo điều kiện); vậy phân số đã cho là 1/4

Bài 6: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20′,ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?

* Lời giải: Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).

Quãng đường ca nô đi là: (10/3)x (km).

Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

2(x+17) – (10/3)x = 10

Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h).

Vận tốc ô tô là: 18 + 17 = 35 (km/h).

Bài 7: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20′. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

* Hướng dẫn và lời giải:

– Với các bài toán chuyển động dưới nước, các em cần nhớ:

vxuôi  = vthực + vnước

vngược  = vthực – vnước

– Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x (km/h). Điều kiện (x>0).

– Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 (km/h).

– Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x+4) (h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x-4) (h).

– Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h20′ = 25/3 (h) nên ta có phương trình:

– Giải phương trình trên được x1 = -5/4 (loại) và x2 = 20 (thoả).

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là: 20 (km/h).

Bài 8: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.

* Hướng dẫn và lời giải:

– Dạng chuyển động có nghỉ ngang đường, các em cần nhớ:

tdự định =tđi + tnghỉ

Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

– Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x (km/h) (Điều kiện: x>0)

Vận tốc lúc sau là 1,2x (km/h).

– Thời gian đi quãng đường đầu là:163/x (h)

– Thời gian đi quãng đường sau là: 100/x (h)

– Theo bài ra ta có phương trình:

– Giải phương trình ta được x = 30 (thoả ĐK)

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

Bài 9: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30′
với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

* Hướng dẫn và lời giải:

– Dạng chuyển động ngược chiều, các em cần nhớ:

Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S

Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).

– Gọi thời gian đi của xe 2 là x (h) (ĐK:x > 0)

– Thời gian đi của xe 1 là x + 3/2 (h).

– Quãng đường xe 2 đi là: 35x (km).

– Quãng đường xe 1 đi là: 30(x + 3/2) (km).

– Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

– Giải phương trình trên được: x = 2 (thoả ĐK)

Vậy sau 2 giờ 2 xe gặp nhau.

Bài 10:

Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20′ một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

* Hướng dẫn và lời giải:

– Dạng chuyển động cùng chiều, các em cần nhớ:

+ Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

+ Cùng khởi hành: tc/đ chậm – tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm)

+ Xuất phát trước sau: tc/đ trước – tc/đ sau = tđi sau; tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước

– Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h).

– Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h).

– Thời gian thuyền đi là: 20/x

– Thời gian ca nô đi là: 20/(x+12)

– Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20′ =16/3 (h) và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

– Giải phương trình được x1 = -15 (loại); x2 = 3 (thoả)

Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

Trên đây, đã giúp các bạn hệ thống lại mảng kiến thức về phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn về Quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình và các dạng toán. Hi vọng, bài viết đã giúp bạn nắm chắc hơn mảng kiến thức Đại số 8 vô cùng quan trọng này. Lí thuyết bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải hay cũng đã được chúng tôi giới thiệu. Bạn tìm hiểu thêm nhé ! 

Giáo dục